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6 • Équations linéaires
R la résolvante de l’équation de référence u
= A(t) u, dont on suppose
qu’elle admet une dichotomie exponentielle sur R
+ associée aux projecteurs
P(t) et Q(t). On notera en particulier P 0 = P(0). On notera par ailleurs
R
la résolvante de l’équation perturbée u
= A(t) u + B(t) u, pour laquelle
on cherche des projecteurs
P(t) et
Q(t) définissant une dichotomie exponentielle. On va d’abord obtenir
P 0 =
P(0) à l’aide d’un argument de point
fixe. On considère pour cela l’opérateur T : C b (R
+ ; L(X )) → C b (R
+ ; L(X ))
tel que
(TY )(t) = R(t, 0) P 0 +
t
0
R(t, t) P(t) B(t) Y (t) dt
−
+∞
t
R(t, t) Q(t) B(t) Y (t) dt .
Ceci définit bien TY ∈ C b (R
+ ; L(X )) (qui muni de la norme · · ∞ est
un espace de Banach) car d’après les propriétés ii) et iii) de la dichotomie
exponentielle, (TY )(t) ≤ K e
−at +
K Y ∞ B ∞
t
0
e
−a(t−t) dt + L Y ∞ B ∞
+∞
t
e
b(t−t) dt ,
d’où
TY ∞ ≤ K +
K
a
+
L
b
B ∞ Y ∞ .
De plus, par le même calcul que ci-dessus
TY − T Z ∞ ≤
K
a
+
L
b
B ∞ Y − Z ∞ .
Donc pour B ∞ ≤ d assez petit, T est contractant, et admet par conséquent
un point fixe unique, que l’on notera Y 1 . Le reste de la démonstration du
théorème va consister à vérifier que
P 0 := Y 1 (0) définit (comme dans la
proposition 6.24) une dichotomie exponentielle pour
R.
On observe tout d’abord que, puisque P 0 P 0 = P 0 , Y 1 P 0 est aussi un point
fixe de T. Par suite, Y 1 (t)P 0 = Y 1 (t) quel que soit t ∈ R
+ , et en particulier
pour t = 0 ceci montre que
P 0 P 0 =
P 0 .
Par définition, on a
Y 1 (t) = R(t, 0) P 0 +
t
0
R(t, t) P(t) B(t) Y 1 (t) dt
−
+∞
t
R(t, t) Q(t) B(t) Y 1 (t) dt
(6.10)