6.4 Dichotomies exponentielles et sous-espaces stables
197
Réciproquement, si l’on a des projecteurs P
±
0 et Q
±
0 tels que P
±
0 + Q
±
0 =
Id X on peut définir P
± (t) et Q
± (t) par (6.9). On a alors (en utilisant la
formule de la proposition 6.4)
R(t, s)P
± (s) = R(t, s) R(s, 0) P
±
0 R(0, s) = R(t, 0) P
±
0 R(0, s)
= P
± (t) R(t, 0) R(0, s) = P
± (t) R(t, s) .
C’est la propriété i). Si de plus on a les trois majorations a), b), c), on
déduit la majoration ii) des deux premières en utilisant à nouveau (6.9) (et
la proposition 6.4) :
R(t, s) P
± (s) x = R(t, 0) R(0, s) P
± (s) x = R(t, 0) P
±
0 R(0, s) x
≤ K e
−a(t−s)
R(s, 0) P
±
0 R(0, s) x ≤ K M e
−a(t−s)
x .
Le calcul est analogue pour ii), en utilisant a) et c).
Remarque : La propriété a) signifie que le projecteur P
± (t)
=
R(t, 0) P
±
0 R(0, t) est uniformément borné pour t ∈ R
± . Autrement
dit, les espaces Im P
+ (t) et Im Q
+ (t) sont « uniformément transverses », au
sens où l’« angle » entre les deux reste uniformément minoré par un angle
non-nul.
Le théorème 6.20 montre que les équations différentielles linéaires à coefficients
constants u
= Au avec A hyperbolique admettent des dichotomies exponentielles
sur R : on peut prendre P
+ = P
−
≡ P
s , Q
+ = Q
−
≡ P
u .
Un résultat fondamental est la robustesse des dichotomies exponentielles par perturbation.
Théorème 6.25 Soient A, B : R
±
→ L(X ) des applications continues. On suppose
que la résolvante de l’équation différentielle u
= A(t) u admet une dichotomie
exponentielle sur R
± . Alors il existe d > 0 tel que, si B(t) ≤ d pour tout t ∈ R
± ,
alors la résolvante de u
= A(t) u + B(t) u admet une dichotomie exponentielle sur
R
± .
Ce résultat avait été obtenu par divers auteurs dans les années 1960, sous des
hypothèses plus ou moins restrictives. Nous en donnons ici la démonstration de Coppel
[7], traduite en dimension quelconque.
Démonstration. Elle repose essentiellement sur trois ingrédients : la formule de Duhamel, le théorème du point fixe de Banach-Picard (théorème
1.17 p. 27) dans L(X ) et un lemme de type Gronwall (lemme 6.26 ci-après).
On se place sur R
+ (la démonstration étant parfaitement analogue sur R
− )
et l’on omettra pour simplifier l’exposant + pour les projecteurs. On note
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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Réciproquement, si l’on a des projecteurs P
±
0 et Q
±
0 tels que P
±
0 + Q
±
0 =
Id X on peut définir P
± (t) et Q
± (t) par (6.9). On a alors (en utilisant la
formule de la proposition 6.4)
R(t, s)P
± (s) = R(t, s) R(s, 0) P
±
0 R(0, s) = R(t, 0) P
±
0 R(0, s)
= P
± (t) R(t, 0) R(0, s) = P
± (t) R(t, s) .
C’est la propriété i). Si de plus on a les trois majorations a), b), c), on
déduit la majoration ii) des deux premières en utilisant à nouveau (6.9) (et
la proposition 6.4) :
R(t, s) P
± (s) x = R(t, 0) R(0, s) P
± (s) x = R(t, 0) P
±
0 R(0, s) x
≤ K e
−a(t−s)
R(s, 0) P
±
0 R(0, s) x ≤ K M e
−a(t−s)
x .
Le calcul est analogue pour ii), en utilisant a) et c).
Remarque : La propriété a) signifie que le projecteur P
± (t)
=
R(t, 0) P
±
0 R(0, t) est uniformément borné pour t ∈ R
± . Autrement
dit, les espaces Im P
+ (t) et Im Q
+ (t) sont « uniformément transverses », au
sens où l’« angle » entre les deux reste uniformément minoré par un angle
non-nul.
Le théorème 6.20 montre que les équations différentielles linéaires à coefficients
constants u
= Au avec A hyperbolique admettent des dichotomies exponentielles
sur R : on peut prendre P
+ = P
−
≡ P
s , Q
+ = Q
−
≡ P
u .
Un résultat fondamental est la robustesse des dichotomies exponentielles par perturbation.
Théorème 6.25 Soient A, B : R
±
→ L(X ) des applications continues. On suppose
que la résolvante de l’équation différentielle u
= A(t) u admet une dichotomie
exponentielle sur R
± . Alors il existe d > 0 tel que, si B(t) ≤ d pour tout t ∈ R
± ,
alors la résolvante de u
= A(t) u + B(t) u admet une dichotomie exponentielle sur
R
± .
Ce résultat avait été obtenu par divers auteurs dans les années 1960, sous des
hypothèses plus ou moins restrictives. Nous en donnons ici la démonstration de Coppel
[7], traduite en dimension quelconque.
Démonstration. Elle repose essentiellement sur trois ingrédients : la formule de Duhamel, le théorème du point fixe de Banach-Picard (théorème
1.17 p. 27) dans L(X ) et un lemme de type Gronwall (lemme 6.26 ci-après).
On se place sur R
+ (la démonstration étant parfaitement analogue sur R
− )
et l’on omettra pour simplifier l’exposant + pour les projecteurs. On note
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit