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6 • Équations linéaires
Démonstration. Rappelons que R(t, s) = B(t) B(s)
−1 (voir la proposition
6.7). Si l’on a P
± (t) et Q
± (t) comme dans la définition 6.21, on remarque
que P
±
0 := P
± (0) =
B(t)
−1 P
± (t) B(t) et Q
±
0 := Q
± (0) = B(t)
−1 Q
± (t) B(t)
pour tout t ∈ R
± d’après i). Ainsi, pour t, s ∈ R
± avec t ≥ s,
R(t, s)P
± (s) = B(t) P
±
0 B(s)
−1 et R(s, t)Q
± (t) = B(s) Q
±
0 B(t)
−1 .
De plus, P
±
0 (resp. Q
±
0 ) étant semblable à P
± (t) (resp. Q
± (t)), elle est
idempotente comme elle. Inversement, si l’on a des matrices idempotentes
P
±
0 et Q
±
0 comme dans l’énoncé,
P
± (t) := B(t) P
±
0 B(t)
−1
et Q
± (t) := B(t) Q
±
0 B(t)
−1
sont idempotentes et vérifient i), ii), iii).
On peut en fait reformuler ce résultat en toute dimension, en remplaçant simplement
B(t) par R(t, 0) et B(t)
−1 par R(0, t). On peut de plus caractériser l’existence de
dichotomies exponentielles de la façon suivante.
Proposition 6.24 La résolvante R d’une équation différentielle linéaire admet une
dichotomie exponentielle sur R
± si seulement s’il existe des projecteurs P
±
0 et Q
±
0
tels que P
±
0 + Q
±
0 = Id X , et K ≥ 0, L ≥ 0, M > 0, a > 0, b > 0, tels que pour t,
s ∈ R
± avec t ≥ s, pour tout x ∈ X,
a) R(t, 0) P
±
0 R(0, t) ≤ M ,
b) R(t, 0) P
±
0 x ≤ K e
−a(t−s)
R(s, 0) P
±
0 x ,
c) R(s, 0) Q
±
0 x ≤ Le
−b(t−s)
R(t, 0) Q
±
0 x .
Démonstration. Si l’on a P
± (t) et Q
± (t) comme dans la définition 6.21,
on pose P
±
0 := P
± (0) et Q
±
0 := Q
± (0). D’après i), on a pour tout t ∈ R
± ,
R(t, 0)P
±
0 = P
± (t) R(t, 0) et R(t, 0)Q
±
0 = Q
± (t) R(t, 0) , (6.9)
et donc en particulier R(t, 0) P
±
0 R(0, t) = P
± (t). Or d’après i) avec t = s,
P
± (t) ≤ K : ceci montre a) avec M = K . De plus, i) montre que pour t,
s ∈ R
± avec t ≥ s, pour tout y ∈ X ,
R(t, s)P
± (s)y ≤ K e
−a(t−s)
y .
On obtient b) en appliquant cette inégalité à y = R(s, 0) P
±
0 x, en utilisant
(6.9) et le fait que P
±
0 est un projecteur (P
±
0 P
±
0 = P
±
0 ). On déduit de la
même manière c) de iii).