6.4 Dichotomies exponentielles et sous-espaces stables
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Proposition 6.22 L’existence d’une dichotomie exponentielle sur [t 0 , +∞[ (resp. ] −
∞, −t 0 ]) avec t 0 ≥ 0 équivaut à l’existence d’une dichotomie exponentielle sur R
+
(resp. R
− ).
Démonstration. En effet, une dichotomie exponentielle sur R
+ en définit a
fortiori une sur [t 0 , +∞[. Inversement, si P et Q définissent une dichotomie
exponentielle sur [t 0 , +∞[, on peut prolonger P et Q à R
+ en posant
P(t) = R(t, t 0 ) P(t 0 ) R(t 0 , t) , Q(t) = R(t, t 0 ) Q(t 0 ) R(t 0 , t)
pour t ∈ [0, t 0 ]. Ces formules définissent bien des projecteurs, car grâce à la
formule de la proposition 6.4,
P(t) P(t) = R(t, t 0 ) P(t 0 ) R(t 0 , t) R(t, t 0 ) P(t 0 ) R(t 0 , t) =
R(t, t 0 ) P(t 0 ) R(t 0 , t 0 ) P(t 0 ) R(t, t 0 ) = R(t, t 0 ) P(t 0 ) P(t 0 ) R(t, t 0 ) =
R(t, t 0 ) P(t 0 ) R(t 0 , t 0 ) ,
et de même pour Q. Puisque P(t 0 ) + Q(t 0 ) = Id X on a aussi P(t) + Q(t) =
Id X . On vérifie aussi facilement la propriété i) : quels que soient t, s ∈ R
+
avec t ≥ s ,
R(t, s) P(s) = R(t, s) R(s, t 0 ) P(t 0 ) R(t 0 , s) = R(t, t 0 ) P(t 0 ) R(t 0 , s) =
R(t, t 0 ) P(t 0 ) R(t 0 , t) R(t, t 0 ) R(t 0 , s) = P(t) R(t, s) .
Par ailleurs, les fonctions continues (t, s) → →R(t, s) P(s) e
a(t−s) et
(t, s) → →R(s, t) Q(t) e
b(t−s) sont bornées sur le compact [0, t 0 ] × [0, t 0 ].
Maintenant pour t ≥ t 0 ≥ s, R(t, s) P(s) = R(t, t 0 ) R(t 0 , s) P(s) =
R(t, t 0 ) P(t 0 ) R(t 0 , s). Par conséquent, puisque l’application continue s → →R(t 0 , s) e
a(t 0 −s) est bornée sur le compact [0, t 0 ] et que
t → →R(t, t 0 ) P(t 0 ) e
a(t−t 0 ) est bornée, on a aussi une borne pour
R(t, s) P(s) e
a(t−s) lorsque t ≥ t 0 ≥ s. De la même façon on obtient une
borne pour R(s, t) Q(t) e
b(t−s) lorsque t ≥ t 0 ≥ s.
Proposition 6.23 Si X = R
n et B(t) est la matrice fondamentale de (6.3) valant I n
en t = 0, l’existence d’une dichotomie exponentielle sur R
± équivaut à l’existence de
matrices idempotentes P
±
0 et Q
±
0 telles que P
±
0 + Q
±
0 = I n et de réels K ≥ 0, L ≥ 0,
a > 0 et b > 0 tels que pour t, s ∈ R
± avec t ≥ s,
ii’) B(t) P
±
0 B(s)
−1
≤ K e
−a(t−s) ,
iii’) B(s) Q
±
0 B(t)
−1
≤ Le
−b(t−s) .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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Proposition 6.22 L’existence d’une dichotomie exponentielle sur [t 0 , +∞[ (resp. ] −
∞, −t 0 ]) avec t 0 ≥ 0 équivaut à l’existence d’une dichotomie exponentielle sur R
+
(resp. R
− ).
Démonstration. En effet, une dichotomie exponentielle sur R
+ en définit a
fortiori une sur [t 0 , +∞[. Inversement, si P et Q définissent une dichotomie
exponentielle sur [t 0 , +∞[, on peut prolonger P et Q à R
+ en posant
P(t) = R(t, t 0 ) P(t 0 ) R(t 0 , t) , Q(t) = R(t, t 0 ) Q(t 0 ) R(t 0 , t)
pour t ∈ [0, t 0 ]. Ces formules définissent bien des projecteurs, car grâce à la
formule de la proposition 6.4,
P(t) P(t) = R(t, t 0 ) P(t 0 ) R(t 0 , t) R(t, t 0 ) P(t 0 ) R(t 0 , t) =
R(t, t 0 ) P(t 0 ) R(t 0 , t 0 ) P(t 0 ) R(t, t 0 ) = R(t, t 0 ) P(t 0 ) P(t 0 ) R(t, t 0 ) =
R(t, t 0 ) P(t 0 ) R(t 0 , t 0 ) ,
et de même pour Q. Puisque P(t 0 ) + Q(t 0 ) = Id X on a aussi P(t) + Q(t) =
Id X . On vérifie aussi facilement la propriété i) : quels que soient t, s ∈ R
+
avec t ≥ s ,
R(t, s) P(s) = R(t, s) R(s, t 0 ) P(t 0 ) R(t 0 , s) = R(t, t 0 ) P(t 0 ) R(t 0 , s) =
R(t, t 0 ) P(t 0 ) R(t 0 , t) R(t, t 0 ) R(t 0 , s) = P(t) R(t, s) .
Par ailleurs, les fonctions continues (t, s) → →R(t, s) P(s) e
a(t−s) et
(t, s) → →R(s, t) Q(t) e
b(t−s) sont bornées sur le compact [0, t 0 ] × [0, t 0 ].
Maintenant pour t ≥ t 0 ≥ s, R(t, s) P(s) = R(t, t 0 ) R(t 0 , s) P(s) =
R(t, t 0 ) P(t 0 ) R(t 0 , s). Par conséquent, puisque l’application continue s → →R(t 0 , s) e
a(t 0 −s) est bornée sur le compact [0, t 0 ] et que
t → →R(t, t 0 ) P(t 0 ) e
a(t−t 0 ) est bornée, on a aussi une borne pour
R(t, s) P(s) e
a(t−s) lorsque t ≥ t 0 ≥ s. De la même façon on obtient une
borne pour R(s, t) Q(t) e
b(t−s) lorsque t ≥ t 0 ≥ s.
Proposition 6.23 Si X = R
n et B(t) est la matrice fondamentale de (6.3) valant I n
en t = 0, l’existence d’une dichotomie exponentielle sur R
± équivaut à l’existence de
matrices idempotentes P
±
0 et Q
±
0 telles que P
±
0 + Q
±
0 = I n et de réels K ≥ 0, L ≥ 0,
a > 0 et b > 0 tels que pour t, s ∈ R
± avec t ≥ s,
ii’) B(t) P
±
0 B(s)
−1
≤ K e
−a(t−s) ,
iii’) B(s) Q
±
0 B(t)
−1
≤ Le
−b(t−s) .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit