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6 • Équations linéaires
6.4 DICHOTOMIES EXPONENTIELLES ET SOUS-ESPACES
STABLES
L’objectif de ce qui suit est d’étendre aux équations à coefficients variables ce que l’on
vient de voir pour les équations à coefficients constants, à savoir la décomposition de
l’espace des solutions en sous-espaces stables et instables. Une telle décomposition
est importante notamment lorsqu’on veut déterminer s’il existe des solutions tendant
vers 0 à l’infini, ce genre de problème apparaissant naturellement dans l’étude de la
stabilité de solutions stationnaires d’équations aux dérivées partielles d’évolution. (Le
terme de résolvante employé ci-après est celui de la définition 6.3 (p. 171), et non le
terme algébrique utilisé au paragraphe précédent.)
Définition 6.21 On dit que la résolvante R d’une équation différentielle linéaire (6.3)
admet des dichotomies exponentielles sur R
− et sur R
+ s’il existe des applications
continues P
± : R
±
→ L(X ) et Q
± : R
±
→ L(X ) telles que pour tout t ∈ R
± ,
P
± (t) et Q
± (t) sont des projecteurs avec P
± (t) + Q
± (t) = Id X , et
i) R(t, s)P
± (s) = P
± (t)R(t, s) quels que soient t et s ∈ R
± avec t ≥ s ,
et il existe K ≥ 0, L ≥ 0, a > 0 et b > 0 tels que pour t , s ∈ R
± avec t ≥ s,
ii) R(t, s)P
± (s) ≤ K e
−a(t−s) ,
iii) R(s, t)Q
± (t) ≤ Le
−b(t−s) .
Prenons par exemple le cas de R
+ . L’existence d’une dichotomie exponentielle sur
R
+ signifie que l’espace des solutions de l’équation différentielle sous-jacente qui
tendent vers 0 en +∞ est
E
s := { u ∈ C
1 (R
+ ) ; u(t) = R(t, 0) u 0 avec u 0 ∈ Im P
+ (0)} .
En effet, si u ∈ E
s alors pour tout t ≥ 0, u(t) = R(t, 0) P
+ (0) u(0) ∈ Im P
+ (t)
d’après i), et u tend vers 0 exponentiellement vite d’après ii). Pour vérifier que E
s
contient toutes les solutions tendant vers 0, on utilise bien sûr iii). Supposons que
u ∈ C
1 (R
+ ) soit solution de l’équation différentielle, ce qui signifie R(s, t) u(t) = u(s)
pour tous t et s dans R
+ , et tende vers 0 en +∞. Fixons alors s ∈ R
+ et considérons
t ≥ s. D’après i) on a
Q
+ (s) u(s) = Q
+ (s) R(s, t) u(t) = R(s, t) Q
+ (t) u(t) ,
ce qui tend vers 0 lorsque t tend vers +∞ d’après iii) et l’hypothèse sur u. Par
conséquent, Q
+ (s) u(s) = 0 : c’est donc que u(s) appartient à Im P
+ (s).
Dans la définition 6.21, on pourrait remplacer R
± par un intervalle semi-infini
quelconque, et définir ainsi ce qu’est une dichotomie exponentielle sur [t 0 , +∞[ (ou
] − ∞, −t 0 ]).
6 • Équations linéaires
6.4 DICHOTOMIES EXPONENTIELLES ET SOUS-ESPACES
STABLES
L’objectif de ce qui suit est d’étendre aux équations à coefficients variables ce que l’on
vient de voir pour les équations à coefficients constants, à savoir la décomposition de
l’espace des solutions en sous-espaces stables et instables. Une telle décomposition
est importante notamment lorsqu’on veut déterminer s’il existe des solutions tendant
vers 0 à l’infini, ce genre de problème apparaissant naturellement dans l’étude de la
stabilité de solutions stationnaires d’équations aux dérivées partielles d’évolution. (Le
terme de résolvante employé ci-après est celui de la définition 6.3 (p. 171), et non le
terme algébrique utilisé au paragraphe précédent.)
Définition 6.21 On dit que la résolvante R d’une équation différentielle linéaire (6.3)
admet des dichotomies exponentielles sur R
− et sur R
+ s’il existe des applications
continues P
± : R
±
→ L(X ) et Q
± : R
±
→ L(X ) telles que pour tout t ∈ R
± ,
P
± (t) et Q
± (t) sont des projecteurs avec P
± (t) + Q
± (t) = Id X , et
i) R(t, s)P
± (s) = P
± (t)R(t, s) quels que soient t et s ∈ R
± avec t ≥ s ,
et il existe K ≥ 0, L ≥ 0, a > 0 et b > 0 tels que pour t , s ∈ R
± avec t ≥ s,
ii) R(t, s)P
± (s) ≤ K e
−a(t−s) ,
iii) R(s, t)Q
± (t) ≤ Le
−b(t−s) .
Prenons par exemple le cas de R
+ . L’existence d’une dichotomie exponentielle sur
R
+ signifie que l’espace des solutions de l’équation différentielle sous-jacente qui
tendent vers 0 en +∞ est
E
s := { u ∈ C
1 (R
+ ) ; u(t) = R(t, 0) u 0 avec u 0 ∈ Im P
+ (0)} .
En effet, si u ∈ E
s alors pour tout t ≥ 0, u(t) = R(t, 0) P
+ (0) u(0) ∈ Im P
+ (t)
d’après i), et u tend vers 0 exponentiellement vite d’après ii). Pour vérifier que E
s
contient toutes les solutions tendant vers 0, on utilise bien sûr iii). Supposons que
u ∈ C
1 (R
+ ) soit solution de l’équation différentielle, ce qui signifie R(s, t) u(t) = u(s)
pour tous t et s dans R
+ , et tende vers 0 en +∞. Fixons alors s ∈ R
+ et considérons
t ≥ s. D’après i) on a
Q
+ (s) u(s) = Q
+ (s) R(s, t) u(t) = R(s, t) Q
+ (t) u(t) ,
ce qui tend vers 0 lorsque t tend vers +∞ d’après iii) et l’hypothèse sur u. Par
conséquent, Q
+ (s) u(s) = 0 : c’est donc que u(s) appartient à Im P
+ (s).
Dans la définition 6.21, on pourrait remplacer R
± par un intervalle semi-infini
quelconque, et définir ainsi ce qu’est une dichotomie exponentielle sur [t 0 , +∞[ (ou
] − ∞, −t 0 ]).