6.3 Coefficients constants
193
de Laplace (voir la proposition 8.26 dans l’appendice), qui suggère qu’au
moins formellemement
e
t A =
1
2ip
Re z = g
e
zt ( z Id X − A )
−1 dz .
Par construction la droite verticale {z ; Re z = g} est bien incluse dans
l’ensemble résolvant r(A). Toutefois, rien n’assure que cette intégrale soit
convergente. En effet, l’exponentielle est oscillante mais pas décroissante à
l’infini, et ( z Id X − A )
−1 = − R A (z) se comporte a priori en 1/z à l’infini.
En revanche, si l’on modifie convenablement le chemin d’intégration on
peut rendre l’intégrale absolument convergente : en l’occurrence (puisque
le spectre de A est borné) on va voir qu’on peut tout simplement remplacer
la droite { z ; Re z = g } par la courbe fermée G (ce qui supprime tout
problème de convergence).
Soit en effet
S(t) :=
1
2ip
G
e
zt ( z Id X − A )
−1 dz .
Comme Re z ≤ g le long de G, il existe C > 0 (dépendant de
max z∈G R A (z)) tel que pour tout t ≥ 0, S(t) ≤ C e
g t . D’après
l’étape 1) on sait que S(0) = Id X . De plus, par dérivation sous le signe
,
on a
S
(t) =
1
2ip
G
z e
zt ( z Id X − A )
−1 dz
=
1
2ip
G
e
zt ( z Id X − A + A ) ( z Id X − A )
−1 dz = A S(t)
puisque
G
e
zt dz = 0 . (d’après le théorème de Cauchy). Ainsi S est
solution du problème de Cauchy :
dS
dt
= A S , S(0) = Id X .
C’est donc que S(t) = e
t A . La formule obtenue :
e
t A =
1
2ip
G
e
zt ( z Id X − A )
−1 dz
est appelée intégrale de Dunford-Taylor.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
193
de Laplace (voir la proposition 8.26 dans l’appendice), qui suggère qu’au
moins formellemement
e
t A =
1
2ip
Re z = g
e
zt ( z Id X − A )
−1 dz .
Par construction la droite verticale {z ; Re z = g} est bien incluse dans
l’ensemble résolvant r(A). Toutefois, rien n’assure que cette intégrale soit
convergente. En effet, l’exponentielle est oscillante mais pas décroissante à
l’infini, et ( z Id X − A )
−1 = − R A (z) se comporte a priori en 1/z à l’infini.
En revanche, si l’on modifie convenablement le chemin d’intégration on
peut rendre l’intégrale absolument convergente : en l’occurrence (puisque
le spectre de A est borné) on va voir qu’on peut tout simplement remplacer
la droite { z ; Re z = g } par la courbe fermée G (ce qui supprime tout
problème de convergence).
Soit en effet
S(t) :=
1
2ip
G
e
zt ( z Id X − A )
−1 dz .
Comme Re z ≤ g le long de G, il existe C > 0 (dépendant de
max z∈G R A (z)) tel que pour tout t ≥ 0, S(t) ≤ C e
g t . D’après
l’étape 1) on sait que S(0) = Id X . De plus, par dérivation sous le signe
,
on a
S
(t) =
1
2ip
G
z e
zt ( z Id X − A )
−1 dz
=
1
2ip
G
e
zt ( z Id X − A + A ) ( z Id X − A )
−1 dz = A S(t)
puisque
G
e
zt dz = 0 . (d’après le théorème de Cauchy). Ainsi S est
solution du problème de Cauchy :
dS
dt
= A S , S(0) = Id X .
C’est donc que S(t) = e
t A . La formule obtenue :
e
t A =
1
2ip
G
e
zt ( z Id X − A )
−1 dz
est appelée intégrale de Dunford-Taylor.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit