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6 • Équations linéaires
Pour cela, on commence par observer que pour tout l /
∈ s( A) qui n’est pas
sur G,
( A − l Id X )
−1 P = −
1
2 ip
G
( A − l Id X )
−1 ( A − z Id X )
−1 dz
=
1
2 ip
( A − l Id X )
−1
G
dz
z − l
−
1
2 ip
G
( A − z Id X )
−1
dz
z − l
d’après la formule (6.8).
• Pour l à l’extérieur de G, le premier terme est nul, et il reste donc :
( A − l Id X )
−1 P =
1
2 ip
G
( A − z Id X )
−1
dz
l − z
.
Le membre de droite est analytique en l, quel que soit l à l’extérieur
de G, et fournit donc un prolongement analytique de ( A − l Id X )
−1 P
à tout l’extérieur de G. Ceci montre que s(A
− ) est à l’intérieur de G, et
donc s(A
− ) ⊂ S − .
• Pour l à l’intérieur de G, on a ( A − l Id X )
−1 P =
( A − l Id X )
−1 +
1
2 ip
G
( A − z Id X )
−1
dz
l − z
et donc ( A − l Id X )
−1 (Id X − P) se prolonge analytiquement à tout
l’intérieur de G. Ceci montre que s(A
+ ) est à l’extérieur de G, et donc
s(A
+ ) ⊂ S + .
Enfin, s(A) ∩ r(A
− ) ∩ r(A
+ ) = ∅ car pour tout l ∈ r(A
− ) ∩ r(A
+ ), on a
R A − (l) P + R A + (l) (Id X − P)
( A − l Id X )
= ( A − l Id X )
R A − (l) P + R A + (l) (Id X − P)
= Id X
et donc l ∈ r(A). Par suite, S ± ⊂ s(A
± ).
2) Il s’agit maintenant d’obtenir une estimation de e
t A P = e
t AP . Pour
simplifier, on note A à la place de AP, ce qui revient à supposer que le
spectre de A est tout entier à l’intérieur d’une courbe fermée simple G, ellemême incluse dans un demi-plan {l ; Re l ≤ g } avec g ∈] − b, 0[. On
veut montrer qu’il existe b > 0 tel que pour tout t ≥ 0,
e
t A
≤ b e
gt .
Là encore, il faut faire preuve d’imagination car la démonstration faite en
dimension finie ne s’adapte pas. L’idée repose sur la formule d’inversion