6.3 Coefficients constants
191
Γ −
+
0
Γ
Γ
Figure 6.7 Contours séparant le spectre de A dans le plan complexe.
à G
vaut 1 (voir [25, p. 197]). Donc il reste seulement le premier terme, qui
est égal à P.
Pour vérifier que P commute avec A, on utilise le fait que les résolvantes
commutent entre elles (d’après la formule (6.8). Cela implique, pour tout
l ∈ r(A) (qui est non vide),
( A − l Id X )
−1 P = P ( A − l Id X )
−1 ,
d’où P ( A − l Id X ) = ( A − l Id X ) P et donc P A = A P .
Considérons alors A
− la restriction de A au sous-espace X
− := Im(P)
(stable par A) et A
+ la restriction de A au sous-espace X
+ := Im(Id X − P)
(également stable par A). On a A
±
∈ L(X
± ) et les ensembles résolvants de
ces endomorphismes contiennent celui de A, car pour tout l /
∈ s(A), on a
simplement
( A
±
− l Id X ± )
−1 = ( A − l Id X )
−1
| X ± .
En fait, on va montrer que leurs spectres sont exactement
s(A
± ) = S ± .
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