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6 • Équations linéaires
Soient alors
P
s =
1
2 ip
G −
( z Id X − A )
−1 dz , P
u =
1
2 ip
G +
( z Id X − A )
−1 dz .
Ce sont des opérateurs continus puisque ( z Id X − A )
−1 est continu pour
tout z ∈ G ± et les ensembles G ± sont compacts. De plus, on a la relation
P
s + P
u = Id X . En effet, soit G 0 un cercle de rayon R > A entourant
G + et G − , c’est-à-dire tout le spectre de A. Pour tout z ∈ G 0 on a
( z Id X − A )
−1 =
∞
m=0
1
z m+1 A
m ,
avec convergence normale de cette série. Donc
1
2 ip
G 0
( z Id X − A )
−1 dz =
∞
m=0
1
2 ip
G 0
1
z m+1 dz
A
m = Id X
car seul le terme m = 0 contribue à la somme. Or on peut déformer continûment le contour G + par exemple pour se rapprocher de G 0 et de G − (parcouru
dans l’autre sens, voir la figure 6.7) en restant dans l’ensemble résolvant de
A. D’après le théorème 6.18, ceci ne change pas la valeur de l’intégrale sur
G + . À la limite on obtient
G +
( z Id X − A )
−1 dz =
G 0
( z Id X − A )
−1 dz −
G −
( z Id X − A )
−1 dz ,
c’est-à-dire P
s = Id X − P
u d’après la formule vue ci-dessus.
Étudions maintenant plus en détail P
s . Pour alléger les notations on omet
l’exposant s ainsi que l’indice − à G. On commence par vérifier que P est
un projecteur. Pour cela, on remarque d’abord, en faisant à nouveau appel
au théorème 6.18 (Cauchy), que P est invariant par un petit déplacement de
G (puisque l’ensemble résolvant est ouvert). Soit G
un chemin fermé simple
entourant G et ne rencontrant pas l’axe imaginaire. Alors
P ◦ P =
1
(2 ip) 2
G
G
( z Id X − A )
−1 ( z
Id X − A )
−1 dz dz
=
1
(2 ip) 2
G
G
(z
− z)
−1 (zId X − A)
−1
− (z
− z)
−1 (z
Id X − A)
−1 dz dz
d’après la formule (6.8). Or, puisque G
est extérieur à G, l’indice des points
de G
par rapport à G est nul, tandis que l’indice des points de G par rapport
6 • Équations linéaires
Soient alors
P
s =
1
2 ip
G −
( z Id X − A )
−1 dz , P
u =
1
2 ip
G +
( z Id X − A )
−1 dz .
Ce sont des opérateurs continus puisque ( z Id X − A )
−1 est continu pour
tout z ∈ G ± et les ensembles G ± sont compacts. De plus, on a la relation
P
s + P
u = Id X . En effet, soit G 0 un cercle de rayon R > A entourant
G + et G − , c’est-à-dire tout le spectre de A. Pour tout z ∈ G 0 on a
( z Id X − A )
−1 =
∞
m=0
1
z m+1 A
m ,
avec convergence normale de cette série. Donc
1
2 ip
G 0
( z Id X − A )
−1 dz =
∞
m=0
1
2 ip
G 0
1
z m+1 dz
A
m = Id X
car seul le terme m = 0 contribue à la somme. Or on peut déformer continûment le contour G + par exemple pour se rapprocher de G 0 et de G − (parcouru
dans l’autre sens, voir la figure 6.7) en restant dans l’ensemble résolvant de
A. D’après le théorème 6.18, ceci ne change pas la valeur de l’intégrale sur
G + . À la limite on obtient
G +
( z Id X − A )
−1 dz =
G 0
( z Id X − A )
−1 dz −
G −
( z Id X − A )
−1 dz ,
c’est-à-dire P
s = Id X − P
u d’après la formule vue ci-dessus.
Étudions maintenant plus en détail P
s . Pour alléger les notations on omet
l’exposant s ainsi que l’indice − à G. On commence par vérifier que P est
un projecteur. Pour cela, on remarque d’abord, en faisant à nouveau appel
au théorème 6.18 (Cauchy), que P est invariant par un petit déplacement de
G (puisque l’ensemble résolvant est ouvert). Soit G
un chemin fermé simple
entourant G et ne rencontrant pas l’axe imaginaire. Alors
P ◦ P =
1
(2 ip) 2
G
G
( z Id X − A )
−1 ( z
Id X − A )
−1 dz dz
=
1
(2 ip) 2
G
G
(z
− z)
−1 (zId X − A)
−1
− (z
− z)
−1 (z
Id X − A)
−1 dz dz
d’après la formule (6.8). Or, puisque G
est extérieur à G, l’indice des points
de G
par rapport à G est nul, tandis que l’indice des points de G par rapport