6.3 Coefficients constants
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prolongement analytique en dehors de r(A). Pour s’en convaincre, on raisonne classiquement par l’absurde. Supposons qu’une fonction analytique
f prolonge R A au voisinage d’un point l du bord de r(A). Par définition, l n’appartient pas à l’ouvert r(A). Soit r le rayon de convergence
du développement en série entière de f au point l. Il existe un point
l 0 ∈ r(A) ∩ {l ; |l − l| < r /2 }, et le développement en série entière
de f au point l 0 a un rayon au moins égal à r − |l 0 − l| > |l 0 − l|. En
particulier, l est dans le disque de convergence. Or, f coïncide avec R A au
voisinage de l 0 et son développement en série entière est donc
f (l) =
+∞
n=0
(l − l 0 )
n
R A (l 0 )
n+1 .
D’après ce qui précède, tous les points du disque de convergence devraient
être dans r(A), mais ce n’est pas le cas de l.
Nous sommes maintenant armés pour aborder l’extension de la proposition 6.14
en dimension infinie. Comme en dimension finie, on dit d’un opérateur qu’il est
hyperbolique s’il n’a pas de spectre imaginaire pur.
Théorème 6.20 Si A est un opérateur hyperbolique, il existe des projecteurs continus
P
s et P
u comme dans la proposition 6.14, c’est-à-dire tels que P
u + P
s = I, P
s et
P
u commutant avec A,
Im P
s = { w ∈ X ; lim
t→+∞
e
t A
w = 0 } , Im P
u = { w ∈ X ; lim
t→−∞
e
t A
w = 0 } ,
et plus précisément, en notant
b = − max{ Re l < 0 ; l ∈ s(A) } et g = min{ Re l > 0 ; l ∈ s(A) } ,
pour tout ´ > 0, il existe des constantes b ´ et c ´ telles que
e
t A P
s
≤ b ´ e
− (b−´) t
∀t ≥ 0 et
e
t A P
u
≤ c ´ e
(g−´) t
∀t ≤ 0 .
Démonstration. On procède en deux étapes : 1) on construit les projecteurs
P
s et P
u de sorte que AP
s ait son spectre de partie réelle négative et AP
u
ait son spectre de partie réelle positive ; 2) on démontre l’estimation de e
t A
lorsque A a son spectre de partie réelle négative ; l’estimation « symétrique »
s’en déduit par le changement de variables t → −t.
1) Le spectre de A étant un compact disjoint de l’axe imaginaire pur, il
existe des courbes fermées simples G ± incluses dans les demi-plans de
droite/gauche et qui entourent les ensembles
S ± := s(A) ∩ {l ; Re l ≷ 0} .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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prolongement analytique en dehors de r(A). Pour s’en convaincre, on raisonne classiquement par l’absurde. Supposons qu’une fonction analytique
f prolonge R A au voisinage d’un point l du bord de r(A). Par définition, l n’appartient pas à l’ouvert r(A). Soit r le rayon de convergence
du développement en série entière de f au point l. Il existe un point
l 0 ∈ r(A) ∩ {l ; |l − l| < r /2 }, et le développement en série entière
de f au point l 0 a un rayon au moins égal à r − |l 0 − l| > |l 0 − l|. En
particulier, l est dans le disque de convergence. Or, f coïncide avec R A au
voisinage de l 0 et son développement en série entière est donc
f (l) =
+∞
n=0
(l − l 0 )
n
R A (l 0 )
n+1 .
D’après ce qui précède, tous les points du disque de convergence devraient
être dans r(A), mais ce n’est pas le cas de l.
Nous sommes maintenant armés pour aborder l’extension de la proposition 6.14
en dimension infinie. Comme en dimension finie, on dit d’un opérateur qu’il est
hyperbolique s’il n’a pas de spectre imaginaire pur.
Théorème 6.20 Si A est un opérateur hyperbolique, il existe des projecteurs continus
P
s et P
u comme dans la proposition 6.14, c’est-à-dire tels que P
u + P
s = I, P
s et
P
u commutant avec A,
Im P
s = { w ∈ X ; lim
t→+∞
e
t A
w = 0 } , Im P
u = { w ∈ X ; lim
t→−∞
e
t A
w = 0 } ,
et plus précisément, en notant
b = − max{ Re l < 0 ; l ∈ s(A) } et g = min{ Re l > 0 ; l ∈ s(A) } ,
pour tout ´ > 0, il existe des constantes b ´ et c ´ telles que
e
t A P
s
≤ b ´ e
− (b−´) t
∀t ≥ 0 et
e
t A P
u
≤ c ´ e
(g−´) t
∀t ≤ 0 .
Démonstration. On procède en deux étapes : 1) on construit les projecteurs
P
s et P
u de sorte que AP
s ait son spectre de partie réelle négative et AP
u
ait son spectre de partie réelle positive ; 2) on démontre l’estimation de e
t A
lorsque A a son spectre de partie réelle négative ; l’estimation « symétrique »
s’en déduit par le changement de variables t → −t.
1) Le spectre de A étant un compact disjoint de l’axe imaginaire pur, il
existe des courbes fermées simples G ± incluses dans les demi-plans de
droite/gauche et qui entourent les ensembles
S ± := s(A) ∩ {l ; Re l ≷ 0} .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit