188
6 • Équations linéaires
et le second (voir [2, p. 16]) dit que
sup
m
||b m , w| < ∞ ∀w ∈ B
⇒ sup
m
b m L(B ;C) < ∞ .
Grâce à l’astuce mentionnée plus haut (utiliser des formes linéaires continues w pour
revenir dans C), on peut faire passer les résultats classiques de la théorie des fonctions
de variable complexe (voir par exemple [25, chapitres 10 et 13]) aux fonctions à
valeurs dans une algèbre de Banach. En particulier, on a le
Théorème 6.18 (Cauchy) Soit V un ouvert connexe non vide de C et B une algèbre de
Banach. Si f : V → B est holomorphe elle est analytique, c’est-à-dire développable
en série entière (et réciproquement). De plus, si G et G
sont des lacets homotopes
dans V, alors
G
f (z) dz =
G
f (z) dz .
Dans le cas de l’algèbre B = L(X ) et de la fonction R A , la première partie de
l’énoncé est facile à vérifier. On peut même préciser l’observation faite au lemme 6.16
en
Proposition 6.19 L’application R A est analytique. De plus, R A n’admet pas de prolongement analytique en dehors de r(A).
Démonstration. Pour l, l 0 ∈ r(A), la formule (6.8) s’écrit aussi
R A (l 0 ) = ( Id X − (l − l 0 ) R A (l 0 ) ) R A (l) .
Par suite, on a
R A (l) =
+∞
n=0
(l − l 0 )
n
R A (l 0 )
n+1 ,
cette série étant convergente pour |l − l 0 | < 1/ R A (l 0 ) . Ceci montre
que R A est analytique dans r(A). « Inversement » si la série ci-dessus
converge, alors sa somme est
S A (l) :=
+∞
n=0
(l − l 0 )
n
R A (l 0 )
n+1 = ( Id X − (l−l 0 ) R A (l 0 ) )
−1 R A (l 0 ) .
Or R A (l 0 ) ( A − l Id X ) = Id X − (l − l 0 ) R A (l 0 ) . Donc S A (l) ( A −
l Id X ) = Id X . On montre de la même façon que ( A − l Id X ) S A (l) = Id X .
D’où l ∈ r(A) et R A (l) = S A (l). Par conséquent, R A n’admet pas de
6 • Équations linéaires
et le second (voir [2, p. 16]) dit que
sup
m
||b m , w| < ∞ ∀w ∈ B
⇒ sup
m
b m L(B ;C) < ∞ .
Grâce à l’astuce mentionnée plus haut (utiliser des formes linéaires continues w pour
revenir dans C), on peut faire passer les résultats classiques de la théorie des fonctions
de variable complexe (voir par exemple [25, chapitres 10 et 13]) aux fonctions à
valeurs dans une algèbre de Banach. En particulier, on a le
Théorème 6.18 (Cauchy) Soit V un ouvert connexe non vide de C et B une algèbre de
Banach. Si f : V → B est holomorphe elle est analytique, c’est-à-dire développable
en série entière (et réciproquement). De plus, si G et G
sont des lacets homotopes
dans V, alors
G
f (z) dz =
G
f (z) dz .
Dans le cas de l’algèbre B = L(X ) et de la fonction R A , la première partie de
l’énoncé est facile à vérifier. On peut même préciser l’observation faite au lemme 6.16
en
Proposition 6.19 L’application R A est analytique. De plus, R A n’admet pas de prolongement analytique en dehors de r(A).
Démonstration. Pour l, l 0 ∈ r(A), la formule (6.8) s’écrit aussi
R A (l 0 ) = ( Id X − (l − l 0 ) R A (l 0 ) ) R A (l) .
Par suite, on a
R A (l) =
+∞
n=0
(l − l 0 )
n
R A (l 0 )
n+1 ,
cette série étant convergente pour |l − l 0 | < 1/ R A (l 0 ) . Ceci montre
que R A est analytique dans r(A). « Inversement » si la série ci-dessus
converge, alors sa somme est
S A (l) :=
+∞
n=0
(l − l 0 )
n
R A (l 0 )
n+1 = ( Id X − (l−l 0 ) R A (l 0 ) )
−1 R A (l 0 ) .
Or R A (l 0 ) ( A − l Id X ) = Id X − (l − l 0 ) R A (l 0 ) . Donc S A (l) ( A −
l Id X ) = Id X . On montre de la même façon que ( A − l Id X ) S A (l) = Id X .
D’où l ∈ r(A) et R A (l) = S A (l). Par conséquent, R A n’admet pas de