6.3 Coefficients constants
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Comme R A est à valeurs dans l’algèbre de Banach L(X ), il faut prendre quelques
précautions si l’on veut appliquer la théorie classique des fonctions de variable complexe. L’astuce consiste à considérer les applications
f : r(A) → C
l
→ w
( A − l Id X )
−1
,
avec w ∈ L(X )
. Le théorème de Hahn-Banach (voir par exemple [2, Corollaire I.3,
p. 3]) montre qu’il existe au moins un w ∈ L(X )
pour lequel f n’est pas identiquement nul. De plus, f est holomorphe (par composition), et elle admet le développement
f (l) = − l
−1
+∞
m=0
l
−m w(A
m )
pour |l| ≥ A. En particulier, on a lim |l|→+∞ | f (l)| = 0. Le théorème de
Liouville (voir [25, p. 206]) montre donc que r(A) ne peut pas être égal à C tout entier.
Autrement dit, s(A) est non vide. Soit donc s A = sup{ |l| ; l ∈ s(A)} comme
annoncé. L’extérieur du disque centré en 0 et rayon s A est donc inclus dans r(A), et f
est une fonction holomorphe de 1/l pour |l| > s A . Par suite, le développement en
série entière
f (1/z) = − z
+∞
m=0
z
m w(A
m )
est convergent dans le disque de rayon 1/s A . En particulier, on doit donc avoir
sup
m
|l
−m w(A
m )| < ∞ pour |l| > s A .
Grâce au résultat d’analyse fonctionnelle donné dans le théorème 6.17 ci-après (appliqué à l’espace B = L(X ) et à la famille B m = l
−m A
m ), on en déduit qu’il existe
des nombres réels positifs C(l) tels que
sup
m
|l|
−m
A
m
≤ C(l) pour |l| > s A ,
d’où lim sup m A
m
1/m
≤ |l| pour |l| > s A . Ceci achève la démonstration de
(6.6).
Théorème 6.17 Si (B m ) est une famille d’éléments d’un C-espace de Banach B tel
que pour tout w ∈ B
, sup m |w(B m )| < ∞ , alors sup m B m < ∞ .
Démonstration. Cela revient à combiner le théorème de Hahn-Banach avec
le théorème de Banach-Steinhaus : le premier montre en effet (voir par
exemple [2, Corollaire I.4, p. 4]) que
B m B = b m L(B ;C) où b m , w := w(B m ) ∀w ∈ B
,
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