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6 • Équations linéaires
qui montre que ( A − l Id X ) admet un inverse si ( A
m
− l
m Id X ) en admet un. On
en déduit
|l| ≤ A
m
1/m
pour tout l ∈ s(A) et pour tout m ∈ N ,
d’où
s(A) ⊂ { l ; |l| ≤ lim inf
m→+∞
A
m
1/m
} .
On aura effectivement démontré (6.7) si l’on vérifie que :
• le spectre s(A) est non vide, ce qui permet de définir
s A := sup{ |l| ; l ∈ s(A)} ,
• et lim sup
m→+∞
A
m
1/m
≤ s pour tout s > s A .
Car alors on aura la suite d’inégalités
s A ≤ lim inf
m→+∞
A
m
1/m
≤ lim sup
m→+∞
A
m
1/m
≤ s A ,
d’où s A = lim inf m→+∞ A
m
1/m = lim sup m→+∞ A
m
1/m , ce qui montre la
première partie de (6.6), tandis que pour la seconde on invoque simplement le fait que
la fonction continue l → |l| atteint son maximum sur le compact non vide s(A).
La démonstration des deux propriétés énoncées ci-dessus utilise le
Lemme 6.16 L’application R A : r(A) → L(X ) définie par
R A (l) := ( A − l Id X )
−1 ,
est holomorphe (c’est-à-dire dérivable comme fonction de variable complexe).
Démonstration. On sait déjà que cette application est continue, comme composée des applications continues l ∈ C → A − l Id X et u ∈ Isom(X ) →
u
−1 . De plus, pour l et l 0 dans l’ensemble résolvant r(A), on a ce que l’on
appelle la formule de la résolvante
(A − lId X )
−1
− (A − l 0 Id X )
−1 = (l − l 0 ) (A − lId X )
−1 (A − l 0 Id X )
−1 ,
(6.8)
qui s’obtient en écrivant (l − l 0 ) (A − lId X )
−1 (A − l 0 Id X )
−1 =
(A − lId X )
−1 (A − l 0 Id X ) (A − l 0 Id X )
−1
−(A − lId X )
−1 (A − lId X ) (A − l 0 Id X )
−1 .
On déduit alors de la formule (6.8) que
d
dl
( A − l Id X )
−1 = ( A − l Id X )
−2 .