6.3 Coefficients constants
185
• L’ensemble des isomorphismes étant un ouvert, l’ensemble résolvant de A :
r(A) := C\s(A)
est ouvert, par continuité de l’application
C → L(X )
l → ( A − l Id X ) .
• Le spectre d’un opérateur A ∈ L(X ) est borné :
s(A) ⊂ { l ; |l| ≤ A} .
En effet, si |l| > A, ( A − l Id X ) est inversible d’inverse
( A − l Id X )
−1 = −
1
l
+∞
m=0
1
l m A
m ,
cette série étant normalement convergente. Plus précisément, on montrera plus
loin que
s(A) ⊂ {l; |l| ≤ r A := lim A
m
1/m
} et s(A) ∩ {l; |l| = r A } } = ∅ . (6.6)
• Ainsi, s(A) est un compact non vide de C.
➤ Attention
Si A était un opérateur non-borné (c’est-à-dire linéaire mais pas continu), on pourrait
encore définir son spectre mais il pourrait être vide ou non borné (voir [18, p. 174])
➤ Démonstration de (6.6)
C’est un peu subtil, car rien ne dit a priori que la limite de A
m
1/m existe. Nous
allons le prouver, en même temps que la formule du rayon spectral :
lim
m→+∞
A
m
1/m = sup{ |l| ; l ∈ s(A)} .
(6.7)
(Si l’on savait que s(A) est exclusivement constitué de valeurs propres, la preuve
serait plus facile.) On sait déjà que s(A) est un compact, inclus dans le disque de
centre 0 et de rayon A. Le critère de Cauchy sur la convergence des séries montre
que
{ l ; |l| > lim sup A
m
1/m
} ⊂ r(A) ,
d’où s(A) ⊂ { l ; |l| ≤ lim sup A
m
1/m
} . En fait, on a mieux presque sans
effort. En effet, si l ∈ s(A) alors l
m
∈ s(A
m ). Ceci résulte de la formule
( A
m
− l
m Id X ) = ( A − l Id X )
m
k=0
l
k A
m−1−k ,
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