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6 • Équations linéaires
De plus, on a l’expression explicite :
e
t A P
s =
j ; Rel j <0
e
t l j
k j −1
k=0
t
k
k !
(A − l j I n )
k P
s ,
d’où, pour t ≥ 0,
e
t A P
s
≤ p max
j≤ p,k≤K
(A − l j I n )
k
P
s
e
− b t
K
k=0
t
k
k !
avec K = max j k j − 1. Le dernier terme, polynômial en t, étant majoré par
une constante fois e
´ t pour ´ > 0, on en déduit l’estimation de e
t A P
s
.
L’estimation de e
t A P
u
s’obtient exactement de la même manière. On
déduit directement de ces estimations les inclusions
Im(P
s ) ⊂ E
s
et Im(P
u ) ⊂ E
u .
Réciproquement, soit par exemple w ∈ E
s . Comme P
u commute avec A, il
commute aussi avec e
t A , donc
P
u
w = e
t A P
u e
−t A
w ≤ c ´ e
(g−´) t
e
−t A
w
pour tout t ≤ 0. En prenant ´ < g, le second membre tend vers 0 lorsque
tend t vers −∞ (pour le dernier terme, on utilise simplement la définition
de E
s ). Donc P
u
w = 0, c’est-à-dire que w = P
s
w ∈ Im(P
s ). Ainsi
E
s
⊂ Im(P
s ). On montre de façon analogue que E
u est inclus dans Im(P
u ).
6.3.3 Dimension infinie
Pour simplifier la présentation, on suppose dans ce paragraphe que X est un C-espace
de Banach, et que A est un opérateur linéaire et continu sur X , ce que l’on note encore
A ∈ L(X ).
On a vu au paragraphe précédent des résultats sur le comportement de e
t A lorsque
X est de dimension finie, qui reposent pour une large part sur la réduction des matrices.
Lorsque X est de dimension infinie, tout devient plus délicat. Tout d’abord, le spectre
de A n’est plus exclusivement constitué de valeurs propres.
Définition 6.15 On appelle spectre de A ∈ L(X ) l’ensemble s( A) des nombres complexes l tels que ( A − l Id X ) /
∈ Isom(X ) (ensemble des isomorphismes de X ). Le
spectre ponctuel est inclus dans le spectre : c’est l’ensemble des valeurs propres,
c’est-à-dire des nombres l ∈ C pour lesquels ( A − l Id X ) est non injectif.