6.3 Coefficients constants
183
pour tout entier naturel m, et donc e
t A
w = e
t l ( w + t v ) est de norme
supérieure ou égale à t v − −w pour t ≥ 0, ce qui est évidemment non
borné.
• Enfin, si l ∈ i R est une valeur propre même simple, A v = l v avec v
non nul entraîne que e
t A
v = e
t l
v est de norme égale à v, ce qui ne
tend pas vers 0.
Définition 6.13 Une matrice n’ayant pas de valeur propre imaginaire pure est dite
hyperbolique.
Proposition 6.14 Soit A ∈ M n (R) une matrice hyperbolique. Alors les ensembles
E
s = { w ∈ R
n ; lim
t→+∞
e
t A
w = 0 } ,
E
u = { w ∈ R
n ; lim
t→−∞
e
t A
w = 0 }
sont des sous-espaces vectoriels de R
n stables par A, appelés respectivement sousespace stable et sous-espace instable, et il existe des projecteurs P
u et P
s commutant
avec A tels que P
u + P
s = I n satisfaisant les estimations suivantes. En notant s(A)
l’ensemble des valeurs propres de A et
b = − max{ Re l < 0 ; l ∈ s(A) } et g = min{ Re l > 0 ; l ∈ s(A) } ,
pour tout ´ > 0, il existe des constantes b ´ et c ´ telles que
e
t A P
s
≤ b ´ e
− (b−´) t
∀t ≥ 0
et
e
t A P
u
≤ c ´ e
(g−´) t
∀t ≤ 0 .
Démonstration. Le fait que E
s et E
u soient des sous-espaces vectoriels
de R
n stables par A est évident (rappelons que e
t A commute avec A). On
va commencer par définir les projecteurs P
u et P
s (un projecteur étant par
définition un opérateur linéaire P idempotent, c’est-à-dire tel que P◦P = P)
et l’on vérifiera ensuite que E
s = Im(P
s ) et E
u = Im(P
u ). On reprend
pour cela les mêmes notations que dans la preuve de la proposition 6.12.
Soient
P
s :=
j ; Rel j <0
P j et P
u :=
j ; Rel j >0
P j .
On remarque que R
n , vu comme sous-espace de C
n , est stable par ces opérateurs car les valeurs propres non réelles de A sont deux à deux conjuguées.
Dans la suite, P
u et P
s désignent les opérateurs restreints à R
n .
Comme les P j , P
s et P
u sont bien des projecteurs commutant avec A. Et
comme A n’a pas de valeur propre imaginaire pure on a
P
u + P
s =
p
j=1
P j = I n .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
183
pour tout entier naturel m, et donc e
t A
w = e
t l ( w + t v ) est de norme
supérieure ou égale à t v − −w pour t ≥ 0, ce qui est évidemment non
borné.
• Enfin, si l ∈ i R est une valeur propre même simple, A v = l v avec v
non nul entraîne que e
t A
v = e
t l
v est de norme égale à v, ce qui ne
tend pas vers 0.
Définition 6.13 Une matrice n’ayant pas de valeur propre imaginaire pure est dite
hyperbolique.
Proposition 6.14 Soit A ∈ M n (R) une matrice hyperbolique. Alors les ensembles
E
s = { w ∈ R
n ; lim
t→+∞
e
t A
w = 0 } ,
E
u = { w ∈ R
n ; lim
t→−∞
e
t A
w = 0 }
sont des sous-espaces vectoriels de R
n stables par A, appelés respectivement sousespace stable et sous-espace instable, et il existe des projecteurs P
u et P
s commutant
avec A tels que P
u + P
s = I n satisfaisant les estimations suivantes. En notant s(A)
l’ensemble des valeurs propres de A et
b = − max{ Re l < 0 ; l ∈ s(A) } et g = min{ Re l > 0 ; l ∈ s(A) } ,
pour tout ´ > 0, il existe des constantes b ´ et c ´ telles que
e
t A P
s
≤ b ´ e
− (b−´) t
∀t ≥ 0
et
e
t A P
u
≤ c ´ e
(g−´) t
∀t ≤ 0 .
Démonstration. Le fait que E
s et E
u soient des sous-espaces vectoriels
de R
n stables par A est évident (rappelons que e
t A commute avec A). On
va commencer par définir les projecteurs P
u et P
s (un projecteur étant par
définition un opérateur linéaire P idempotent, c’est-à-dire tel que P◦P = P)
et l’on vérifiera ensuite que E
s = Im(P
s ) et E
u = Im(P
u ). On reprend
pour cela les mêmes notations que dans la preuve de la proposition 6.12.
Soient
P
s :=
j ; Rel j <0
P j et P
u :=
j ; Rel j >0
P j .
On remarque que R
n , vu comme sous-espace de C
n , est stable par ces opérateurs car les valeurs propres non réelles de A sont deux à deux conjuguées.
Dans la suite, P
u et P
s désignent les opérateurs restreints à R
n .
Comme les P j , P
s et P
u sont bien des projecteurs commutant avec A. Et
comme A n’a pas de valeur propre imaginaire pure on a
P
u + P
s =
p
j=1
P j = I n .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit