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6 • Équations linéaires
(Voir par exemple [27, pp. 17–23].) Malheureusement, le vocabulaire se télescope
entre l’algèbre et l’analyse car on appelle aussi résolvante de A la matrice (A − l I n )
−1
lorsque l n’est pas une valeur propre de A. Le terme est donc à manipuler avec
précaution. (Cette ambiguïté n’existe pas en anglais, le terme « resolvent » étant
réservé à l’opérateur ( A − lId X )
−1 , noté R A (l) par la suite, la résolvante R(t, s) de la
définition 6.3 étant appelée « solution operator ».)
Le comportement asymptotique des solutions de (6.5) est donné par le résultat
suivant, que l’on donne sur R
+ et qui admet évidemment un analogue sur R
− (changer
t en −t et A en −A).
Proposition 6.12 L’application t → e
t A est bornée sur R
+ si et seulement si les
valeurs propres de A sont toutes de partie réelle négative ou nulle et si les valeurs
propres imaginaires pures sont semi-simples. Elle tend vers 0 en +∞ si et seulement
si les valeurs propres de A sont toutes de partie réelle strictement négative.
Démonstration. Soit {l 1 , . . . , l p } l’ensemble des valeurs propres de A
(avec p ≤ n et l i = l j pour i
= j). À chaque valeur propre l j on associe
le sous-espace caractéristique E j , et P j la projection sur E j parallèlement à
⊕ i = j E j . Par définition de E j , il existe un entier k j tel que
(A − l j I n )
k j P j = 0 ,
et d’après le théorème 6.11 (Cayley-Hamilton), on a
I n =
p
j=1
P j .
Par suite e
t A =
p
j=1 e
t A P j =
p
j=1
e
t l j e
t (A − l j I) P j =
p
j=1
e
t l j
k j −1
k=0
t
k
k !
(A − l j I n )
k P j ,
ce qui tend bien vers 0 en +∞ si les l j sont toutes de partie réelle strictement
négative. Par ailleurs, si les l j sont de partie réelle négative ou nulle et si les
k j valent tous 1, alors e
t A est bornée sur R
+ . Les réciproques sont faciles à
vérifier :
• S’il existe l de partie réelle strictement positive tel que A v = l v pour
un vecteur v non nul, alors e
t A
v = e
t l
v est non borné.
• Si l ∈ i R est une valeur propre non semi-simple, il existe des vecteurs
non nuls v et w tels que A v = l v , A w = l w + v. On montre par
récurrence que
A
m
w = l
m
w + m l
m−1
v
6 • Équations linéaires
(Voir par exemple [27, pp. 17–23].) Malheureusement, le vocabulaire se télescope
entre l’algèbre et l’analyse car on appelle aussi résolvante de A la matrice (A − l I n )
−1
lorsque l n’est pas une valeur propre de A. Le terme est donc à manipuler avec
précaution. (Cette ambiguïté n’existe pas en anglais, le terme « resolvent » étant
réservé à l’opérateur ( A − lId X )
−1 , noté R A (l) par la suite, la résolvante R(t, s) de la
définition 6.3 étant appelée « solution operator ».)
Le comportement asymptotique des solutions de (6.5) est donné par le résultat
suivant, que l’on donne sur R
+ et qui admet évidemment un analogue sur R
− (changer
t en −t et A en −A).
Proposition 6.12 L’application t → e
t A est bornée sur R
+ si et seulement si les
valeurs propres de A sont toutes de partie réelle négative ou nulle et si les valeurs
propres imaginaires pures sont semi-simples. Elle tend vers 0 en +∞ si et seulement
si les valeurs propres de A sont toutes de partie réelle strictement négative.
Démonstration. Soit {l 1 , . . . , l p } l’ensemble des valeurs propres de A
(avec p ≤ n et l i = l j pour i
= j). À chaque valeur propre l j on associe
le sous-espace caractéristique E j , et P j la projection sur E j parallèlement à
⊕ i = j E j . Par définition de E j , il existe un entier k j tel que
(A − l j I n )
k j P j = 0 ,
et d’après le théorème 6.11 (Cayley-Hamilton), on a
I n =
p
j=1
P j .
Par suite e
t A =
p
j=1 e
t A P j =
p
j=1
e
t l j e
t (A − l j I) P j =
p
j=1
e
t l j
k j −1
k=0
t
k
k !
(A − l j I n )
k P j ,
ce qui tend bien vers 0 en +∞ si les l j sont toutes de partie réelle strictement
négative. Par ailleurs, si les l j sont de partie réelle négative ou nulle et si les
k j valent tous 1, alors e
t A est bornée sur R
+ . Les réciproques sont faciles à
vérifier :
• S’il existe l de partie réelle strictement positive tel que A v = l v pour
un vecteur v non nul, alors e
t A
v = e
t l
v est non borné.
• Si l ∈ i R est une valeur propre non semi-simple, il existe des vecteurs
non nuls v et w tels que A v = l v , A w = l w + v. On montre par
récurrence que
A
m
w = l
m
w + m l
m−1
v