6.3 Coefficients constants
181
–3
–2
–1
0
1
2
3
y
–3
–2
–1
1
2
3
x
Figure 6.6 Portrait de phase pour un centre (b = p).
l’espace Ker ( A − l I n )
k est appelé sous-espace caractéristique (« generalized eigenspace », et k est appelé « ascent » en anglais) de l.
• La dimension du sous-espace propre Ker ( A − l I n ) est appelée multiplicité géométrique de l.
• La dimension du sous-espace caractéristique Ker ( A − l I n )
k est appelée multiplicité algébrique de l.
• Lorsque les multiplicités géométrique et algébrique coïncident, la valeur propre l
est dite semi-simple (dans ce cas k = 1).
• Lorsque les multiplicités géométrique et algébrique coïncident et valent 1, la valeur
propre l est dite simple.
Théorème 6.11 (Cayley–Hamilton)
• Les valeurs propres de A sont les zéros du polynôme caractéristique :
P(l) := dét ( l I n − A ) .
La multiplicité algébrique d’une valeur propre est égale à son ordre comme zéro
du polynôme caractéristique. Les sous-espaces caractéristiques sont en somme
directe et leur somme est C
n .
• Les valeurs propres de A sont aussi les zéros du polynôme minimal, défini comme
le générateur unitaire de l’idéal des polynômes annulateurs de A.
• Si toutes les valeurs propres sont semi-simples, les sous-espaces caractéristiques
et les sous-espaces propres sont égaux, et la matrice A est diagonalisable.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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Figure 6.6 Portrait de phase pour un centre (b = p).
l’espace Ker ( A − l I n )
k est appelé sous-espace caractéristique (« generalized eigenspace », et k est appelé « ascent » en anglais) de l.
• La dimension du sous-espace propre Ker ( A − l I n ) est appelée multiplicité géométrique de l.
• La dimension du sous-espace caractéristique Ker ( A − l I n )
k est appelée multiplicité algébrique de l.
• Lorsque les multiplicités géométrique et algébrique coïncident, la valeur propre l
est dite semi-simple (dans ce cas k = 1).
• Lorsque les multiplicités géométrique et algébrique coïncident et valent 1, la valeur
propre l est dite simple.
Théorème 6.11 (Cayley–Hamilton)
• Les valeurs propres de A sont les zéros du polynôme caractéristique :
P(l) := dét ( l I n − A ) .
La multiplicité algébrique d’une valeur propre est égale à son ordre comme zéro
du polynôme caractéristique. Les sous-espaces caractéristiques sont en somme
directe et leur somme est C
n .
• Les valeurs propres de A sont aussi les zéros du polynôme minimal, défini comme
le générateur unitaire de l’idéal des polynômes annulateurs de A.
• Si toutes les valeurs propres sont semi-simples, les sous-espaces caractéristiques
et les sous-espaces propres sont égaux, et la matrice A est diagonalisable.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit