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6 • Équations linéaires
–4
–2
2
4
y
–2
–1
1
2
x
Figure 6.1 Portrait de phase pour un point selle (l = −1, m = 1).
Concernant les portraits de phase, chacun des cas i), ii) et iii) se décompose en
sous-cas selon les signes des parties réelles des valeurs propres. (On met à part la cas
trivial A = 0.)
Le cas i) peut donner lieu à cinq portraits de phase différents :
Point selle ou col (figure 6.1) si détA < 0, les valeurs propres sont réelles et de signe
opposé.
Nœud impropre (figure 6.2) si (tr A)
2 > 4détA > 0, les valeurs propres sont réelles
distinctes mais de même signe (nœud attractif si négatives ; nœud résulsif si
positives).
Nœud propre (figure 6.3) si A = lI n , on a un nœud attractif si l < 0, répulsif si
l > 0.
Nœud exceptionnel (figure 6.4) si (tr A)
2 = 4détA > 0, A a une seule valeur propre
réelle et elle n’est pas proportionnelle à I n , c’est le cas ii). Le nœud est attractif
ou répulsif selon le signe la valeur propre réelle non semi-simple l.
Enfin, le cas iii) donne trois portraits de phase distincts :
Foyer (figure 6.5) si 4détA > (tr A)
2 > 0, les valeurs propres sont complexes
conjuguées et de partie réelle non nulle (le foyer est attractif si tr A < 0 et
répulsif si tr A > 0).
Centre (figure 6.6) si 4détA > (tr A)
2 = 0, les valeurs propres sont imaginaires pures
non nulles.
Les nœuds attractifs sont aussi appelés puits et les nœuds répulsifs sources.