6.3 Coefficients constants
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6.3 COEFFICIENTS CONSTANTS
Ce titre apparemment réducteur cache une partie en fait assez difficile, fondée sur
des résultats non triviaux (rappelés et parfois démontrés, au fil des besoins) d’algèbre
linéaire, de théorie spectrale et d’analyse complexe. L’objectif est d’approfondir
l’analyse qualitative des solutions des équations linéaires à coefficients constants, ce
qui revient à étudier plus finement la fonction exponentielle sur L(E), et de mettre en
place des outils utiles dans l’analyse des équations non linéaires.
Par souci pédagogique on commencera par le cas de la dimension finie, reposant
essentiellement sur l’algèbre linéaire, avant d’aborder le cas général, faisant appel à
l’analyse fonctionnelle.
6.3.1 Dimension deux
Commençons par étudier en détail les solutions des systèmes de deux équations,
et les portraits de phase associés, c’est-à-dire l’allure des courbes décrites par ces
solutions dans le plan R
2 . Ce n’est pas difficile, mais donne lieu à une classification
qu’il convient de préciser. L’expression de l’exponentielle d’une matrice A ∈ M 2 (R)
dépend de ses valeurs propres et de leur multiplicité. On distingue trois cas pour
commencer :
i). Les valeurs propres l et m de A sont réelles et A est diagonalisable. Si P est une
matrice de passage à une base de vecteurs propres, on a
P
−1 e
t A P =
e
l t
0
0 e
m t
.
ii). La matrice A admet une valeur propre réelle l non semi-simple. Si P est une
matrice de passage à une base de Jordan,
P
−1 e
t A P =
e
l t t e
l t
0
e
l t
.
iii). Les valeurs propres l et m de A sont complexes conjugées. Alors A est semblable
à
a b
− b a
avec a = Re l et b = Im l et
P
−1 e
t A P = e
a t
cos bt
sin bt
− sin bt cos bt
.
Les cas i) et ii) s’obtiennent directement par le calcul. Pour le cas iii), on diagonalise
d’abord A dans une base complexe (e 1 , e 2 = e 1 ) puis on pose r 1 = Re e 1 , r 2 = Im e 1
pour obtenir une matrice de passage à coefficients réels.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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6.3 COEFFICIENTS CONSTANTS
Ce titre apparemment réducteur cache une partie en fait assez difficile, fondée sur
des résultats non triviaux (rappelés et parfois démontrés, au fil des besoins) d’algèbre
linéaire, de théorie spectrale et d’analyse complexe. L’objectif est d’approfondir
l’analyse qualitative des solutions des équations linéaires à coefficients constants, ce
qui revient à étudier plus finement la fonction exponentielle sur L(E), et de mettre en
place des outils utiles dans l’analyse des équations non linéaires.
Par souci pédagogique on commencera par le cas de la dimension finie, reposant
essentiellement sur l’algèbre linéaire, avant d’aborder le cas général, faisant appel à
l’analyse fonctionnelle.
6.3.1 Dimension deux
Commençons par étudier en détail les solutions des systèmes de deux équations,
et les portraits de phase associés, c’est-à-dire l’allure des courbes décrites par ces
solutions dans le plan R
2 . Ce n’est pas difficile, mais donne lieu à une classification
qu’il convient de préciser. L’expression de l’exponentielle d’une matrice A ∈ M 2 (R)
dépend de ses valeurs propres et de leur multiplicité. On distingue trois cas pour
commencer :
i). Les valeurs propres l et m de A sont réelles et A est diagonalisable. Si P est une
matrice de passage à une base de vecteurs propres, on a
P
−1 e
t A P =
e
l t
0
0 e
m t
.
ii). La matrice A admet une valeur propre réelle l non semi-simple. Si P est une
matrice de passage à une base de Jordan,
P
−1 e
t A P =
e
l t t e
l t
0
e
l t
.
iii). Les valeurs propres l et m de A sont complexes conjugées. Alors A est semblable
à
a b
− b a
avec a = Re l et b = Im l et
P
−1 e
t A P = e
a t
cos bt
sin bt
− sin bt cos bt
.
Les cas i) et ii) s’obtiennent directement par le calcul. Pour le cas iii), on diagonalise
d’abord A dans une base complexe (e 1 , e 2 = e 1 ) puis on pose r 1 = Re e 1 , r 2 = Im e 1
pour obtenir une matrice de passage à coefficients réels.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit