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6 • Équations linéaires
où comM désigne la comatrice de M. On a fait appel ici à la formule
d’algèbre
M (comM)
t = (comM)
t M = (détM) I n .
(6.4)
Par densité de GL n (R) dans M n (R) on en déduit la formule
d(dét)(M) · H = tr((comM)
t H )
quelles que soient M et H ∈ M n (R). La formule de Liouville se déduit
ensuite de la règle de dérivation des fonctions composées, car alors
∂D
∂t
(t, s) = tr
(comR(t, s))
t ∂ R
∂t
(t, s)
=
tr
(comR(t, s))
t A(t)R(t, s)
= D(t, s) tr(A(t))
d’après la formule algébrique (6.4) et la commutativité de la trace (qui
se démontre en observant que AB et B A = B(AB)B
−1 sont semblables
lorsque B est inversible). On conclut en résolvant (comme au paragraphe
5.2.1) l’équation différentielle linéaire satisfaite par t → D(t, s).
6.2.4 Formule de Duhamel
Ce paragraphe est consacré à un résultat facile à montrer et néanmoins fondamental,
généralisant le principe de superposition vu dans le cas à coefficients constants (au
paragraphe 5.2.3) et selon lequel : la solution générale d’une équation linéaire avec
terme source est donnée par la somme de la solution générale de l’équation homogène
et d’une solution particulière de l’équation avec terme source.
Proposition 6.9 (Formule de Duhamel) Soit A ∈ C(I ; L(X )) et R la résolvante de
l’équation différentielle homogène (6.3). Soient b ∈ C(I ; X ) et f
t 0 le flot en t 0 ∈ I de
l’équation (6.1). Alors pour tout (t, v) ∈ I × X,
f
t 0 (t, v) = R(t, t 0 ) v +
t
t 0
R(t, s) b(s) ds .
Démonstration. On vérifie par le calcul que l’application
t →
t
t 0
R(t, s) b(s) ds
est solution de l’équation avec le terme source b. Comme t → R(t, t 0 ) v
est solution de l’équation homogène, la somme des deux est, par linéarité,
solution de l’équation avec terme source. De plus elle vaut v à t = t 0 . Donc
c’est l’unique solution cherchée.