6.2 Résolvante
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Démonstration. Elle repose sur l’expression de la différentielle du déterminant, que l’on va obtenir ici avec des arguments algébriques et un minimum
de calculs. Le point de départ est la définition intrinsèque du déterminant
d’un endomorphisme. On rappelle (voir la proposition 4.3) que A n (X ), sousespace vectoriel de L n (X ) des formes n-linéaires alternées sur X , est de
dimension 1 si X est de dimension n. Étant donnés w ∈ L(X ) et f ∈ A n (X ),
l’application
f w : (x 1 , . . . , x n ) ∈ X
n
→ f(w(x 1 ), . . . , w(x n ))
est n-linéaire alternée, et par conséquent proportionnelle à f, avec un facteur qui ne dépend pas de f car l’application f → f w est linéaire. La
définition intrinsèque du déterminant de w est alors f w = (détw) f. Si
E = (e 1 , . . . , e n ) est une base de X et si M est la matrice de w dans cette
base, on a
détM := dét E (w(e 1 ), . . . , w(e n )) = détw ,
où dét E désigne l’unique élément de A n (X ) valant 1 en (e 1 , . . . , e n ). On a
également une définition intrinsèque de la trace, en observant que l’application
(x 1 , . . . , x n ) ∈ X
n
→
n
i=1
f(x 1 , . . . , x i−1 , w(x i ), x i+1 , . . . , x n )
est n-linéaire alternée et donc proportionnelle à f : le facteur définit la trace
de w. Ainsi
tr M = tr w :=
n
i=1
dét E (e 1 , . . . , e i−1 , w(e i ), e i+1 , . . . , e n )
(avec l’abus de notation habituel pour i = 1 et i = n). Par multilinéarité de
f, on trouve
d(dét)(w) · h =
n
i=1
f(w(e 1 ), . . . , w(e i−1 ), h(e i ), w(e i+1 ), . . . , w(e n ))
pour tout h ∈ L(X ). Si w est un isomorphisme, ceci se réécrit d(dét)(w)·h =
(détw)
n
i=1
f(e 1 , . . . , e i−1 , (w
−1
◦h)(e i ), e i+1 , . . . , e n ) = (détw) tr(w
−1
◦h) ,
dont la traduction en termes matriciels est
d(dét)(M) · H = (détM) tr(M
−1 H ) = tr((comM)
t H )
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