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6 • Équations linéaires
d’où l’on tire par application du lemme de Gronwall à R(u, s) pour u ∈ [s, t],
R(t, s) ≤ e
t
s
A(t) dt .
6.2.3 Dimension finie
Tout ce que l’on peut dire, si les valeurs A(t) ne commutent pas deux à deux, est que
la résolvante est liée à une base de solutions de la façon suivante.
Proposition 6.7 Soient A : I → M n (R) continue et R : I → M n (R) la résolvante
de (6.3), définie comme la solution du problème
∂ R
∂t
(t, s) = A(t) R(t, s) et R(s, s) = I n .
Si (e 1 , . . . , e n ) est une base de R
n , alors les applications t → R(t, t 0 )e i , pour i ∈
{1, . . . , n}, forment une famille indépendante de solutions de (6.3). Inversement, si
u 1 , . . . , u n est une famille indépendante de solutions de (6.3), soit B : t ∈ I →
B(t) ∈ GL n (R) dont les vecteurs colonnes sont u 1 (t), . . . , u n (t). Alors la résolvante
de (6.3) est donnée par
R(t, s) = B(t) B(s)
−1 .
Démonstration. La première partie découle de la définition et du corollaire
6.5, qui montre que R(t, s) ∈ GL n (R). La preuve de la seconde partie
consiste à remarquer que l’application t → B(t) B(s)
−1 est solution du
même problème de Cauchy que t → R(t, s), et à conclure une nouvelle fois
grâce au lemme d’unicité 5.6.
Remarque : L’application B de la proposition 6.7 n’a aucune raison d’être
unique. Cependant, à t 0 ∈ I fixé, on peut considérer l’unique solution B ∈
C
1 (I ; M n (R)) du problème de Cauchy
dB
dt
= A(t) ◦ B , B(t 0 ) = I n .
(Ainsi B(t) = R(t, t 0 ).) On appelle alors B(t) « la » matrice fondamentale de
(6.3).
On peut aussi montrer que R(t, s) est inversible en vérifiant que son déterminant,
appelé Wronskien, satisfait une équation différentielle scalaire linéaire d’ordre 1, ce
qui implique le résultat suivant.
Proposition 6.8 formule de Liouville Soit D(t, s) := dét(R(t, s)), où R est la résolvante de (6.3). Alors
D(t, s) = e
t
s
tr(A(t)) dt .
6 • Équations linéaires
d’où l’on tire par application du lemme de Gronwall à R(u, s) pour u ∈ [s, t],
R(t, s) ≤ e
t
s
A(t) dt .
6.2.3 Dimension finie
Tout ce que l’on peut dire, si les valeurs A(t) ne commutent pas deux à deux, est que
la résolvante est liée à une base de solutions de la façon suivante.
Proposition 6.7 Soient A : I → M n (R) continue et R : I → M n (R) la résolvante
de (6.3), définie comme la solution du problème
∂ R
∂t
(t, s) = A(t) R(t, s) et R(s, s) = I n .
Si (e 1 , . . . , e n ) est une base de R
n , alors les applications t → R(t, t 0 )e i , pour i ∈
{1, . . . , n}, forment une famille indépendante de solutions de (6.3). Inversement, si
u 1 , . . . , u n est une famille indépendante de solutions de (6.3), soit B : t ∈ I →
B(t) ∈ GL n (R) dont les vecteurs colonnes sont u 1 (t), . . . , u n (t). Alors la résolvante
de (6.3) est donnée par
R(t, s) = B(t) B(s)
−1 .
Démonstration. La première partie découle de la définition et du corollaire
6.5, qui montre que R(t, s) ∈ GL n (R). La preuve de la seconde partie
consiste à remarquer que l’application t → B(t) B(s)
−1 est solution du
même problème de Cauchy que t → R(t, s), et à conclure une nouvelle fois
grâce au lemme d’unicité 5.6.
Remarque : L’application B de la proposition 6.7 n’a aucune raison d’être
unique. Cependant, à t 0 ∈ I fixé, on peut considérer l’unique solution B ∈
C
1 (I ; M n (R)) du problème de Cauchy
dB
dt
= A(t) ◦ B , B(t 0 ) = I n .
(Ainsi B(t) = R(t, t 0 ).) On appelle alors B(t) « la » matrice fondamentale de
(6.3).
On peut aussi montrer que R(t, s) est inversible en vérifiant que son déterminant,
appelé Wronskien, satisfait une équation différentielle scalaire linéaire d’ordre 1, ce
qui implique le résultat suivant.
Proposition 6.8 formule de Liouville Soit D(t, s) := dét(R(t, s)), où R est la résolvante de (6.3). Alors
D(t, s) = e
t
s
tr(A(t)) dt .