6.2 Résolvante
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À ce stade, la résolvante n’est qu’un outil formel. On peut néanmoins la calculer
dans certains cas particuliers.
6.2.1 Cas autonome
Si A est indépendant de t, les solutions de (6.1) s’expriment à l’aide de l’exponentielle.
Le lemme 5.3 montre en effet que la résolvante de l’équation différentielle linéaire
autonome
du
dt
= A u
est donnée par R(t, s) = e
(t−s) A .
6.2.2 Cas scalaire
D’après le calcul fait au paragraphe 5.2.1, la résolvante de
du
dt
= a(t) u ,
où l’inconnue u est à valeurs réelles et a : I → R est continue, est donnée par
R(t, s) = e
t
s
a(t) dt .
Remarque : Il est tentant de généraliser les deux cas précédents, mais comme
e
A+B n’est pas le produit de e
A et e
B lorsque A et B ne commutent pas, R(t, s)
n’est égal à exp
t
s
A(t) dt
que si toutes les applications linéaires A(t) commutent entre elles.
Cependant, on peut au besoin avoir recours à la majoration suivante de la résolvante.
Proposition 6.6 Si A ∈ C(I ; L(X )), la résolvante R : I × I → Isom(X ) ⊂ L(X ) de
l’équation différentielle (6.3) vérifie, quels que soient t ∈ I et s ∈ I ,
R(t, s) ≤ e |
t
s
A(t) dt| .
Démonstration. C’est une application du lemme de Gronwall. D’après les
formules du corollaire 6.5, on a pout tout (t, s) ∈ I × I ,
R(t, s) = Id X +
t
s
A(t) ◦ R(t, s) dt = Id X +
s
t
R(t, s) ◦ A(s) ds .
Considérons pour fixer les idées le cas s ≤ t. (Si s ≥ t, on échange leurs
rôles et on utilise la seconde égalité ci-dessus au lieu de la première.) On a
alors
R(t, s) ≤ 1 +
t
s
A(t) R(t, s) dt ,
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