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6 • Équations linéaires
Par construction, R est continûment différentiable par rapport à t. De plus, le lemme
5.12 (conséquence du lemme de Gronwall, p. 148) montre que R est Lispchitzienne
par rapport à t 0 . Donc R est une fonction continue de (t, t 0 ). Comme l’ensemble
des isomorphismes de L(X ) est un ouvert et R(t 0 , t 0 ) = Id X est trivialement un
isomorphisme, R(t, t 0 ) est un isomorphisme pour tout t voisin de t 0 . En fait, c’est vrai
pour tout t ∈ I comme conséquence de la :
Proposition 6.4 La résolvante est telle que R(t, s) ◦ R(s, t 0 ) = R(t, t 0 ) quels que
soient t, s, t 0 ∈ I .
Démonstration. Soit u 0 ∈ X et u(t) = R(t, t 0 )u 0 . Alors la solution du
problème de Cauchy
dv
dt
= A(t) v , v(s) = u(s) ,
n’est autre que u, mais elle s’exprime aussi comme
v : t → v(t) = R(t, s) u(s) = R(t, s) ◦ R(s, t 0 )u 0 .
D’où R(t, t 0 )u 0 = R(t, s) ◦ R(s, t 0 )u 0 . Ceci étant vrai quel que soit u 0 , on
en déduit la formule voulue.
Corollaire 6.5 Pour tout (t, t 0 ) ∈ I × I , R(t, t 0 ) est un isomorphisme, d’inverse
R(t 0 , t). De plus, R est continûment différentiable comme fonction de deux variables,
et ses dérivées partielles satisfont
∂ R
∂t
(t, s) = A(t) ◦ R(t, s) et
∂ R
∂s
(t, s) = − R(t, s) ◦ A(s) .
Démonstration. La première partie est une conséquence immédiate de la
proposition 6.4, car R(t 0 , t) ◦ R(t, t 0 ) = R(t 0 , t 0 ) = Id X et de même en
échangeant les rôles de t 0 et t, R(t, t 0 ) ◦ R(t 0 , t) = Id X . L’expression de la
dérivée partielle de R par rapport à sa première variable découle directement
de la définition de R : on en déduit qu’elle est continue puisque A et R le sont.
Pour montrer que R est dérivable par rapport à sa seconde variable, on utilise
la première partie : comme R(t, s) = R(s, t)
−1 , R est dérivable par rapport
à s par composition de s → R(s, t) et de l’application M ∈ Isom(X ) →
M
−1 , dont on sait qu’elle est (continûment) différentiable (voir l’exercice
1.7). Pour exprimer effectivement la dérivée partielle de R par rapport à sa
seconde variable, on dérive simplement l’identité R(t, s) ◦ R(s, t) = Id X en
utilisant l’expression de la dérivée partielle de R par rapport à sa première
variable, ce qui donne :
∂ R
∂s
(t, s) ◦ R(s, t) + R(t, s) ◦ A(s) ◦ R(s, t) = 0 .
Comme R(s, t) est un isormorphisme, on en déduit l’expression annoncée.
6 • Équations linéaires
Par construction, R est continûment différentiable par rapport à t. De plus, le lemme
5.12 (conséquence du lemme de Gronwall, p. 148) montre que R est Lispchitzienne
par rapport à t 0 . Donc R est une fonction continue de (t, t 0 ). Comme l’ensemble
des isomorphismes de L(X ) est un ouvert et R(t 0 , t 0 ) = Id X est trivialement un
isomorphisme, R(t, t 0 ) est un isomorphisme pour tout t voisin de t 0 . En fait, c’est vrai
pour tout t ∈ I comme conséquence de la :
Proposition 6.4 La résolvante est telle que R(t, s) ◦ R(s, t 0 ) = R(t, t 0 ) quels que
soient t, s, t 0 ∈ I .
Démonstration. Soit u 0 ∈ X et u(t) = R(t, t 0 )u 0 . Alors la solution du
problème de Cauchy
dv
dt
= A(t) v , v(s) = u(s) ,
n’est autre que u, mais elle s’exprime aussi comme
v : t → v(t) = R(t, s) u(s) = R(t, s) ◦ R(s, t 0 )u 0 .
D’où R(t, t 0 )u 0 = R(t, s) ◦ R(s, t 0 )u 0 . Ceci étant vrai quel que soit u 0 , on
en déduit la formule voulue.
Corollaire 6.5 Pour tout (t, t 0 ) ∈ I × I , R(t, t 0 ) est un isomorphisme, d’inverse
R(t 0 , t). De plus, R est continûment différentiable comme fonction de deux variables,
et ses dérivées partielles satisfont
∂ R
∂t
(t, s) = A(t) ◦ R(t, s) et
∂ R
∂s
(t, s) = − R(t, s) ◦ A(s) .
Démonstration. La première partie est une conséquence immédiate de la
proposition 6.4, car R(t 0 , t) ◦ R(t, t 0 ) = R(t 0 , t 0 ) = Id X et de même en
échangeant les rôles de t 0 et t, R(t, t 0 ) ◦ R(t 0 , t) = Id X . L’expression de la
dérivée partielle de R par rapport à sa première variable découle directement
de la définition de R : on en déduit qu’elle est continue puisque A et R le sont.
Pour montrer que R est dérivable par rapport à sa seconde variable, on utilise
la première partie : comme R(t, s) = R(s, t)
−1 , R est dérivable par rapport
à s par composition de s → R(s, t) et de l’application M ∈ Isom(X ) →
M
−1 , dont on sait qu’elle est (continûment) différentiable (voir l’exercice
1.7). Pour exprimer effectivement la dérivée partielle de R par rapport à sa
seconde variable, on dérive simplement l’identité R(t, s) ◦ R(s, t) = Id X en
utilisant l’expression de la dérivée partielle de R par rapport à sa première
variable, ce qui donne :
∂ R
∂s
(t, s) ◦ R(s, t) + R(t, s) ◦ A(s) ◦ R(s, t) = 0 .
Comme R(s, t) est un isormorphisme, on en déduit l’expression annoncée.