6.2 Résolvante
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pour tout t ∈ [a, b]. C’est vrai à l’ordre 1 comme on vient de le voir.
Supposons l’inégalité vraie à l’ordre n. Alors
(T
n+1
v)(t) − (T
n+1
w)(t) = (T(T
n
v))(t) − (T(T
n
w))(t)
≤ C
t
0
(T
n
v)(s) − (T
n
w)(s) ds ≤ C max
s∈[0,t]
v − w
t
0
C
n s
n
n!
ds
d’après l’hypothèse de récurrence. En évaluant l’intégrale on obtient immédiatement l’inégalité à l’ordre n + 1 :
(T
n+1
v)(t) − (T
n+1
w)(t) ≤ C
n+1
t
n+1
(n + 1)!
v − w .
Par conséquent, on a
T
n
v − T
n
w ≤ C
n (b − a)
n
n!
v − w
quels que soient v et w. Donc T
n est contractant pour n assez grand et
d’après le théorème 6.2, T admet un point fixe unique.
6.2 RÉSOLVANTE
Considérons l’équation différentielle linéaire dans L(X ) :
dM
dt
= A(t) ◦ M .
(6.2)
(En dimension finie, si l’on identifie M(t) et A(t) avec des matrices comme on le fera
occasionnellement, le produit de composition ◦ est simplement à remplacer par le
produit matriciel, voir par exemple la proposition 6.7.) D’après le théorème 6.1 (dans
l’espace L(X )), ses solutions maximales sont globales.
Définition 6.3 On appelle résolvante (« solution operator » en anglais) de l’équation
différentielle homogène
du
dt
= A(t)u
(6.3)
(associée à (6.1)), l’application R : I × I → L(X ) telle que pour tout (t, t 0 ) ∈ I ,
R(t, t 0 ) soit la valeur à l’instant t de la solution du problème de Cauchy pour (6.2)
avec la condition initiale R(t 0 , t 0 ) = Id X .
Par linéarité, pour tout u 0 ∈ X , l’application u : t → R(t, t 0 )u 0 est la solution du
problème de Cauchy pour (6.3) et la condition initiale u(t 0 ) = u 0 . Autrement dit, le
flot de (6.3) est donné par f
t 0 (t, u 0 ) = R(t, t 0 )u 0 .
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