Exercices
159
b) Résoudre l’équation différentielle sur z en cherchant une solution sous la
forme d’une série entière.
c) En déduire alors que u est définie sur un intervalle ] − t, t[ avec t ∈]2, +∞[.
Exercice 5.6 Soient l > 0 et a ∈ C(R
+ ; R
+
∗ ) continue. On suppose qu’il existe
a > 0 tel que pour tout T > 0,
sup
t∈]0,T ]
1
t
t
0
s
2 a(s) ds < a ,
et l’on considère la solution maximale x : [0, T
∗ [ → R de l’équation différentielle
dx
dt
= l + a(t) x
2 ,
pour la donnée initiale x(0) = 0.
i). L’objectif de cette question est de montrer que si 4a l < 1, alors T
∗ = +∞.
a) Soit T < T
∗ et M : [0, T ] → R définie par M(0) = l et M(t) =
sup s∈]0,t]
x(s)
s pour t ∈]0, T ]. Montrer que M continue et à valeurs positives.
b) Montrer qu’il existe m < a tel que M(t) ≤ l + mM(t)
2 pour tout t ∈ [0, T ].
c) En déduire que si 4a l < 1 alors pour tout t ∈ [0, T ], M(t) ≤
1−
√
1−4ml
2m
et
conclure.
ii). On veut maintenant construire un contre-exemple au résultat précédent lorsque
4a l > 1. On pose a(t) = (1 + t
2 )
−1 .
a) Vérifier que cette fonction a vérifie l’hypothèse avec a = 1.
b) On choisit l >
1
4 . Soit z(t) = x(t)/
√
1 + t 2 . Démontrer que pour tout t ∈
[0, T
∗ [,
0 < z
2 (t) − z(t) + l ≤ z
(t)
√
1 + t 2 ≤ z(t)
2 + l.
c) En déduire que pour tout t ∈ [0, T
∗ [,
z(t)
0
ds
s 2 + l
≤
t
0
ds
√
1 + s 2
≤
z(t)
0
ds
s 2 − s + l
,
puis que sh(p/(2
√
l)) ≤ T
∗
≤ sh(2p/(
√
4l − 1)) .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit