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5 • Introduction et outils de base
Exercice 5.4 Solutions maximales/périodiques
On considère l’équation différentielle scalaire :
du
dt
= (1 + cos t) u − u
3 .
(5.22)
i). a) Si u ∈ C
1 (J ; R) est une solution sur un intervalle J ⊂ R telle qu’il existe
t ∈ J pour lequel u(t) = 0, que peut-on dire de u ?
b) Soit v ∈ R
+∗ et u ∈ C
1 (J ; R) la solution maximale du problème de Cauchy
pour l’équation (5.22) et la donnée initiale u(0) = v. Montrer qu’il existe
C > 0 tel que 0 < u(t) ≤ v exp(Ct) pour tout t ∈ J , t 0.
c) Montrer que toutes les solutions maximales de (5.22) sont globales sur R
+ .
ii). On note f = f
0 le flot de (5.22) en t = 0, qui est global d’après ce qui précède,
et p(v) := f(2p, v) pour tout v ∈ R
+ .
a) Calculer p(0) et p
(0).
b) Montrer que p est solution d’une équation différentielle et la résoudre.
c) Déduire de ce qui précède l’existence d’une solution 2p-périodique à valeurs
strictement positives de (5.22).
Exercice 5.5
i). On considère l’équation de Riccati u
= u
2 . Donner l’intervalle d’existence de
la solution maximale du problème de Cauchy en fonction de la donnée initiale
u(0) = u 0 .
ii). Soit v une fonction continue sur un intervalle J contenant 0 telle que
v(t) ≤ e
t
0
v(t) dt pour tout t ∈ J .
Montrer, en s’inspirant de la question précédente et de la démonstration du
lemme de Gronwall, que pour tout t ∈ J , t < 1, v(t) ≤ 1/(1 − t).
iii). On considère maintenant l’équation u
= u
2 + t
2 .
a) Soit u la solution maximale du problème de Cauchy pour la donnée initiale
u(0) = 0. Soit z(t) = exp
−
t
0
u(s)ds
. Ecrire une équation différentielle
du second ordre pour z et montrer que z
(0) = z
(0) = z
(0) = 0.