Exercices
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EXERCICES
Exercice 5.1 Temps d’existence de solutions maximales
Pour chacun des problèmes de Cauchy suivants, justifier l’existence d’une unique
solution maximale et déterminer son intervalle de définition :
x
= 1 + x , x(0) = 1 ,
x
= x
4/3 , x(0) = 1 ,
x
= sin x , x(0) = 2 .
Exercice 5.2 Non unicité
Montrer que le problème de Cauchy pour l’équation x
= x
2/3 et la donnée initiale
x(0) = 0 admet une infinité de solutions.
Exercice 5.3 Non existence
Soit E l’espace des suites réelles tendant vers 0, muni de la norme définie par x ∞ :=
sup n∈N |x n | pour x = (x n ) n∈N (c’est un espace de Banach).
i). Montrer que
f : x = (x n ) n∈N → y = f (x) ; y n =
|x n | +
1
n + 1
, n ∈ N
définit une application continue de E dans E.
ii). On considère le problème de Cauchy
dx
dt
= f (x) , x(0) = 0 E .
Supposons que x ∈ C
1 (] − a, a[; E) soit une solution (avec a > 0). Montrer
qu’alors
x n (t) > 0 et
x
n (t)
√
x n (t)
> 1
pour tout n ∈ N et tout t ∈ [0, a[.
iii). En déduire que pour tout n ∈ N et tout t ∈ [0, a[, x n (t) ≥ t
2 /4 et conclure.
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