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5 • Introduction et outils de base
s’écrit aussi d j c(t, j) · h, donc sa dérivée par rapport à t est, compte-tenu
de (5.20) et d’après le théorème de Schwarz,
d j (g(x 0 + tj)) · j) · h = t dg(x 0 + tj) · h · j + g(x 0 + tj) · h ,
En dérivant le second terme de H on trouve donc
dH
dt
= t (dg(x 0 + tj) · h · j − dg(x 0 + tj) · j · h) .
C’est ici qu’intervient la condition de symétrie, car elle permet de transformer le second terme et montrer ainsi que
dH
dt
= t d u f (x 0 + tj, w(x 0 + tj)) · H (t) · j
pour tout t ∈ [−1, 1]. Or, l’application (t, h) → t d u f (x 0 +tj, w(x 0 +tj))·h·j
étant de classe C
1 et linéaire par rapport à h, d’après le lemme 5.6, la seule
solution de l’équation différentielle
dh
dt
= t d u f (x 0 + tj, w(x 0 + tj)) · h · j
qui s’annule en t = 0 est l’application nulle. Donc H ≡ 0.