5.6 Équations aux différentielles totales
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où l’on a noté pour simplifier j = x − x 0 , vérifiant w(0) = u 0 . Or il existe
r > 0, r > 0, M > 0 et k > 0 tels que
f (x, u) ≤ M et d u f (x, u) ≤ k
pour x − x 0 ≤ r et u − u 0 ≤ r. Ainsi, pour j ≤ r , pour tout
t ∈ [−1, 1],
f (x 0 + tj, u) · j ≤ Mr .
Comme on l’a vu dans la démonstration du théorème 5.5 (Cauchy–Lipschitz),
cela permet de construire une solution c : [−1, 1] → B(u 0 ; r) de (5.21)
telle que c(0) = u 0 pourvu que l’on ait Mr ≤ r, ce que l’on peut toujours
supposer vrai quitte à diminuer r . De plus, d’après le théorème 5.15 (p. 153),
c est fonction de classe C
1 du paramètre j. On remarque de plus que l’équation (5.21) est invariante par le changement d’échelle (t, j) → (t/l, lj).
Par suite, d’après l’unicité des solutions (lemme 5.6), c ne dépend que de
tj : si l’on écrit explicitement sa dépendance en j, cela signifie que
c(t, j) = c(1, tj) .
On obtient alors la fonction w cherchée en posant w(x) = c(1, x − x 0 ).
Ainsi, pour j ∈ B(0; r ) et t ∈ [−1, 1], on a
w(x 0 + tj) = c(1, tj) .
Il reste ensuite à montrer que sous l’hypothèse de symétrie de T , la fonction
w vérifie bien dw(x) = f (x, w(x)) pour tout x ∈ B(x 0 ; r ). Pour cela on va
à nouveau invoquer le théorème de Cauchy–Lipschitz, pour une équation
différentielle linéaire cette fois. Fixons j ∈ B(0; r ), h ∈ E, et considérons
la fonction
H : t ∈ [−1, 1] → H (t) := t (dw(x 0 + tj) − g(x 0 + tj)) · h .
où g est définie comme dans la partie directe. On a évidemment H (0) = 0.
Si l’on montre que H est solution d’une équation différentielle linéaire du
premier ordre, on pourra en déduire que H est identiquement nulle et donc
que pour tout t = 0,
dw(x 0 + tj) · h = f (x 0 + tj, w(x 0 + tj)) · h .
Ceci étant vrai quels que soient j et h, la démonstration sera terminée.
Calculons donc la dérivée de H par rapport à t. Le premier terme de H
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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où l’on a noté pour simplifier j = x − x 0 , vérifiant w(0) = u 0 . Or il existe
r > 0, r > 0, M > 0 et k > 0 tels que
f (x, u) ≤ M et d u f (x, u) ≤ k
pour x − x 0 ≤ r et u − u 0 ≤ r. Ainsi, pour j ≤ r , pour tout
t ∈ [−1, 1],
f (x 0 + tj, u) · j ≤ Mr .
Comme on l’a vu dans la démonstration du théorème 5.5 (Cauchy–Lipschitz),
cela permet de construire une solution c : [−1, 1] → B(u 0 ; r) de (5.21)
telle que c(0) = u 0 pourvu que l’on ait Mr ≤ r, ce que l’on peut toujours
supposer vrai quitte à diminuer r . De plus, d’après le théorème 5.15 (p. 153),
c est fonction de classe C
1 du paramètre j. On remarque de plus que l’équation (5.21) est invariante par le changement d’échelle (t, j) → (t/l, lj).
Par suite, d’après l’unicité des solutions (lemme 5.6), c ne dépend que de
tj : si l’on écrit explicitement sa dépendance en j, cela signifie que
c(t, j) = c(1, tj) .
On obtient alors la fonction w cherchée en posant w(x) = c(1, x − x 0 ).
Ainsi, pour j ∈ B(0; r ) et t ∈ [−1, 1], on a
w(x 0 + tj) = c(1, tj) .
Il reste ensuite à montrer que sous l’hypothèse de symétrie de T , la fonction
w vérifie bien dw(x) = f (x, w(x)) pour tout x ∈ B(x 0 ; r ). Pour cela on va
à nouveau invoquer le théorème de Cauchy–Lipschitz, pour une équation
différentielle linéaire cette fois. Fixons j ∈ B(0; r ), h ∈ E, et considérons
la fonction
H : t ∈ [−1, 1] → H (t) := t (dw(x 0 + tj) − g(x 0 + tj)) · h .
où g est définie comme dans la partie directe. On a évidemment H (0) = 0.
Si l’on montre que H est solution d’une équation différentielle linéaire du
premier ordre, on pourra en déduire que H est identiquement nulle et donc
que pour tout t = 0,
dw(x 0 + tj) · h = f (x 0 + tj, w(x 0 + tj)) · h .
Ceci étant vrai quels que soient j et h, la démonstration sera terminée.
Calculons donc la dérivée de H par rapport à t. Le premier terme de H
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit