154
5 • Introduction et outils de base
plus grande que 2, les équations du type (5.19) n’ont pas nécessairement de solution.
Cependant, il existe une caractérisation des fonctions f pour lesquelles (5.19) admet
des solutions (ce qui est utile notamment pour démontrer le théorème de Frobenius,
voir p. 114).
Théorème 5.16 Soit f ∈ C
2 (U ; L(E; F)), avec U un ouvert de E × F. Si w ∈
C
2 (W ; F) est solution de (5.19) alors on a la relation de symétrie suivante :
d x f (x, w(x)) · h · k + d u f (x, w(x)) · ( f (x, w(x)) · h) · k =
d x f (x, w(x)) · k · h + d u f (x, w(x)) · ( f (x, w(x)) · k) · h
quel que soit (h, k) ∈ E × E. « Inversement », si la fonction f vérifie que pour tout
(x, u) ∈ U l’application
T : (h, k) ∈ E × E → d x f (x, u) · k · h + d u f (x, u) · ( f (x, u) · k) · h
est symétrique alors, pour tout (x 0 , u 0 ) ∈ U il existe un voisinage W de x 0 dans E et
une application w ∈ C
2 (W ; F) solution de (5.19) telle que w(x 0 ) = u 0 .
Démonstration. La partie directe résulte d’un calcul et du théorème 2.4
(Schwarz) : si l’on a une solution w de (5.19) alors par différentiation dans
la direction h on a d
2 w(x) · h = dg(x) · h , où g désigne la fonction
g : E → L(E; F)
x → g(x) := f (x, w(x)) ,
dont la différentielle est donnée pour tout h ∈ E par
dg(x) · h = d x f (x, w(x)) · h + d u f (x, w(x)) · dw(x) · h =
d x f (x, w(x)) · h + d u f (x, w(x)) · f (x, w(x)) · h .
La relation de symétrie annoncée se déduit alors de la symétrie de d
2 w.
La réciproque est plus délicate. On commence par montrer qu’il existe r > 0
et une unique fonction w de classe C
2 dans la boule de centre x 0 et de rayon
r telle que w(x 0 ) = u 0 et, pour tout x ∈ B(x 0 ; r ), pour tout t ∈ [−1, 1],
dw(x 0 + t(x − x 0 )) · (x − x 0 ) = f (x 0 + t(x − x 0 ), w(x 0 + t(x − x 0 ))) · (x − x 0 ) .
(5.20)
On remarque en effet que le membre de gauche est la dérivée de t →
w(x 0 + t(x − x 0 )). À x fixé, chercher w revient donc à chercher une solution
de l’équation différentielle ordinaire
dy
dt
= f (x 0 + tj, y) · j ,
(5.21)
5 • Introduction et outils de base
plus grande que 2, les équations du type (5.19) n’ont pas nécessairement de solution.
Cependant, il existe une caractérisation des fonctions f pour lesquelles (5.19) admet
des solutions (ce qui est utile notamment pour démontrer le théorème de Frobenius,
voir p. 114).
Théorème 5.16 Soit f ∈ C
2 (U ; L(E; F)), avec U un ouvert de E × F. Si w ∈
C
2 (W ; F) est solution de (5.19) alors on a la relation de symétrie suivante :
d x f (x, w(x)) · h · k + d u f (x, w(x)) · ( f (x, w(x)) · h) · k =
d x f (x, w(x)) · k · h + d u f (x, w(x)) · ( f (x, w(x)) · k) · h
quel que soit (h, k) ∈ E × E. « Inversement », si la fonction f vérifie que pour tout
(x, u) ∈ U l’application
T : (h, k) ∈ E × E → d x f (x, u) · k · h + d u f (x, u) · ( f (x, u) · k) · h
est symétrique alors, pour tout (x 0 , u 0 ) ∈ U il existe un voisinage W de x 0 dans E et
une application w ∈ C
2 (W ; F) solution de (5.19) telle que w(x 0 ) = u 0 .
Démonstration. La partie directe résulte d’un calcul et du théorème 2.4
(Schwarz) : si l’on a une solution w de (5.19) alors par différentiation dans
la direction h on a d
2 w(x) · h = dg(x) · h , où g désigne la fonction
g : E → L(E; F)
x → g(x) := f (x, w(x)) ,
dont la différentielle est donnée pour tout h ∈ E par
dg(x) · h = d x f (x, w(x)) · h + d u f (x, w(x)) · dw(x) · h =
d x f (x, w(x)) · h + d u f (x, w(x)) · f (x, w(x)) · h .
La relation de symétrie annoncée se déduit alors de la symétrie de d
2 w.
La réciproque est plus délicate. On commence par montrer qu’il existe r > 0
et une unique fonction w de classe C
2 dans la boule de centre x 0 et de rayon
r telle que w(x 0 ) = u 0 et, pour tout x ∈ B(x 0 ; r ), pour tout t ∈ [−1, 1],
dw(x 0 + t(x − x 0 )) · (x − x 0 ) = f (x 0 + t(x − x 0 ), w(x 0 + t(x − x 0 ))) · (x − x 0 ) .
(5.20)
On remarque en effet que le membre de gauche est la dérivée de t →
w(x 0 + t(x − x 0 )). À x fixé, chercher w revient donc à chercher une solution
de l’équation différentielle ordinaire
dy
dt
= f (x 0 + tj, y) · j ,
(5.21)