5.6 Équations aux différentielles totales
153
5.5.2 Dépendance par rapport aux paramètres
La dépendance continue (voire mieux) des solutions par rapport à d’éventuels paramètres peut se déduire du théorème du flot.
Théorème 5.15 On suppose f de classe C
2 sur I × U × L, où I est un intervalle
ouvert de R, U est un ouvert de E et L un ouvert d’un autre espace de Banach Y . Les
solutions de l’équation différentielle à paramètre :
du
dt
= f (t, u, l)
sont continûment différentiables par rapport à l.
Démonstration. Considérons le système augmenté :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
du
dt
= f (t, u, m) ,
dm
dt
= 0 .
Soit F
t 0 le flot local en t 0 de ce système. Alors la solution du problème de
Cauchy :
u
= f (t, u, l) , u(t 0 ) = v ,
est donnée par u(t) = P( F
t 0 (t, v, l) ), où P : E × Y → E désigne la
projection sur E. D’après le théorème 5.13, c’est une fonction continûment
différentiable par rapport à (v, l) et donc en particulier par rapport à l.
5.6 ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENTIELLES TOTALES
En complément de ce chapitre, on va s’intéresser à des équations qui généralisent les
EDO et se traitent par des arguments de type EDO. Étant donnés deux espaces de
Banach E et F on considère une application f : U → L(E; F) de classe C
1 au moins
sur un ouvert U du produit E × F, et l’on considère l’équation
du = f (x, u) ,
(5.19)
dont les solutions, si elles existent, sont des fonctions w ∈ C
1 (W ; F) où W est un
ouvert de E, telles que (x, w(x)) ∈ U et dw(x) = f (x, w(x)) pour tout x ∈ W .
L’équation (5.19), dite aux différentielles totales, se réduit à une équation différentielle
ordinaire lorsque E = R. Lorsque E = R
n c’est une équation aux dérivées partielles
d’ordre 1. Contrairement aux EDO, lorsque E est un espace de dimension strictement
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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5.5.2 Dépendance par rapport aux paramètres
La dépendance continue (voire mieux) des solutions par rapport à d’éventuels paramètres peut se déduire du théorème du flot.
Théorème 5.15 On suppose f de classe C
2 sur I × U × L, où I est un intervalle
ouvert de R, U est un ouvert de E et L un ouvert d’un autre espace de Banach Y . Les
solutions de l’équation différentielle à paramètre :
du
dt
= f (t, u, l)
sont continûment différentiables par rapport à l.
Démonstration. Considérons le système augmenté :
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎩
du
dt
= f (t, u, m) ,
dm
dt
= 0 .
Soit F
t 0 le flot local en t 0 de ce système. Alors la solution du problème de
Cauchy :
u
= f (t, u, l) , u(t 0 ) = v ,
est donnée par u(t) = P( F
t 0 (t, v, l) ), où P : E × Y → E désigne la
projection sur E. D’après le théorème 5.13, c’est une fonction continûment
différentiable par rapport à (v, l) et donc en particulier par rapport à l.
5.6 ÉQUATIONS AUX DIFFÉRENTIELLES TOTALES
En complément de ce chapitre, on va s’intéresser à des équations qui généralisent les
EDO et se traitent par des arguments de type EDO. Étant donnés deux espaces de
Banach E et F on considère une application f : U → L(E; F) de classe C
1 au moins
sur un ouvert U du produit E × F, et l’on considère l’équation
du = f (x, u) ,
(5.19)
dont les solutions, si elles existent, sont des fonctions w ∈ C
1 (W ; F) où W est un
ouvert de E, telles que (x, w(x)) ∈ U et dw(x) = f (x, w(x)) pour tout x ∈ W .
L’équation (5.19), dite aux différentielles totales, se réduit à une équation différentielle
ordinaire lorsque E = R. Lorsque E = R
n c’est une équation aux dérivées partielles
d’ordre 1. Contrairement aux EDO, lorsque E est un espace de dimension strictement
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit