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5 • Introduction et outils de base
telles que c(t 0 , v) = c 0 satisfont l’estimation
c(t, v) − c(t, w) ≤ t c 0
max
s∈[t 0 −t,t 0 +t]
A(s, v) − A(s, w)
× exp
t
max
s∈[t 0 −t,t 0 +t]
max( A(s, v) , A(s, w)
quels que soient t ∈ [t 0 − t, t 0 + t], et v, w ∈ V.
Démonstration. Quitte à faire une translation en t on peut supposer t 0 = 0.
On traite le cas t ≥ t 0 , le cas t ≤ t 0 s’en déduisant par symétrie. Enfin, pour
simplifier les écritures, introduisons les notations
a(t, v) := max
s∈[0,t]
A(s, v) et b(t, v, w) := max
s∈[0,t]
A(s, v) − A(s, w) .
Puisque par définition,
c(t, v) − c(t, w) =
t
0
A(s, v) c(s, v) − A(s, w) c(s, w) ds ,
on a pour tout t ∈ [0, t], c(t, v) − c(t, w) ≤
a(t, v)
t
0
c(s, v) − c(s, w) ds + b(t, v, w)
t
0
c(s, w) ds .
De plus, c(t, w) ≤ ≤c 0 + a(t, w)
t
0
c(s, w) ds . Donc, par une
première application du lemme de Gronwall,
c(t, w) ≤ ≤c 0 e
t a(t,w) .
On en déduit c(t, v) − c(t, w) ≤
t
0
a(t, v) c(s, v) − c(s, w) + b(t, v, w) e
t a(t,w)
c 0 ds .
En appliquant à nouveau le lemme de Gronwall, cela donne
c(t, v) − c(t, w) ≤ b(t, v, w) c 0
t
0
e
s a(t,w) e
(t−s) a(t,v) ds
≤ t b(t, v, w) c 0 e
t max(a(t,w),a(t,v)) ,
ce qui est l’inégalité annoncée (avec t ∈ [t 0 , t 0 + t] et t 0 = 0).