5.5 Théorème du flot
151
+
t
t 0
D f (s, f(s, v)) ( u(s, h) − c(s, v) · h ) ds .
Le premier terme se majore en utilisant le fait que f est de classe C
2 (on
aurait besoin seulement de C
1 en dimension finie, puisqu’alors D f serait
localement uniformément continue). Quitte à réduire R on peut en effet
supposer D
2 f bornée sur [t 0 − t, t 0 + t] × B(u 0 ; R), et donc, d’après le
théorème des accroissements finis, pour tout ´ > 0, il existe h > 0 tel que
pour x, y ∈ B(u 0 ; 2R), y − x ≤ h entraîne
f (s, x) − f (s, y) − D f (s, y) · (x − y) ≤ ´ x − y
pour tout s ∈ [t 0 , t]. Donc, pour h ≤ h/C, on a
f (s, f(s, v + h)) − f (s, f(s, v)) − D f (s, f(s, v)) · u(s, h) ≤ ´ C h .
D’où pour tout t ≥ t 0 , u(t, h) − c(t, v) · h ≤
´ C h (t − t 0 ) + a(t 0 , t; v)
t
t 0
u(s, h) − c(s, v) · h ds
avec la même signification pour a que dans la première étape. On appliquant
une nouvelle fois le lemme de Gronwall, on déduit pour t ∈ [t 0 − t, t 0 + t] :
u(t, h) − c(t, v) · h ≤ ´ C h t e
a(t 0 −t,t 0 +t;v) t .
Ceci montre que
lim
h→0
1
h
(f(t, v + h) − f(t, v) − c(t, v) · h) = 0 ,
c’est-à-dire que f est différentiable par rapport à v et Df(t, v) = c(t, v).
En conclusion, f est continûment dérivable par rapport à t et à v et donc de
classe C
1 .
En prime, on a montré que la différentielle de f par rapport à v, Df est de classe C
1
et solution de l’équation linéaire (5.18) avec la condition initiale Df(t 0 , v) = Id E .
Montrons maintenant le lemme utilisé dans la démonstration.
Lemme 5.14 Si A : [t 0 − t, t 0 + t] × V → L(E) est continue (par rapport à sa
première variable t), alors les solutions t → c(t, v) de l’équation linéaire
∂c
∂t
(t, v) = A(t, v) c(t, v)
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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+
t
t 0
D f (s, f(s, v)) ( u(s, h) − c(s, v) · h ) ds .
Le premier terme se majore en utilisant le fait que f est de classe C
2 (on
aurait besoin seulement de C
1 en dimension finie, puisqu’alors D f serait
localement uniformément continue). Quitte à réduire R on peut en effet
supposer D
2 f bornée sur [t 0 − t, t 0 + t] × B(u 0 ; R), et donc, d’après le
théorème des accroissements finis, pour tout ´ > 0, il existe h > 0 tel que
pour x, y ∈ B(u 0 ; 2R), y − x ≤ h entraîne
f (s, x) − f (s, y) − D f (s, y) · (x − y) ≤ ´ x − y
pour tout s ∈ [t 0 , t]. Donc, pour h ≤ h/C, on a
f (s, f(s, v + h)) − f (s, f(s, v)) − D f (s, f(s, v)) · u(s, h) ≤ ´ C h .
D’où pour tout t ≥ t 0 , u(t, h) − c(t, v) · h ≤
´ C h (t − t 0 ) + a(t 0 , t; v)
t
t 0
u(s, h) − c(s, v) · h ds
avec la même signification pour a que dans la première étape. On appliquant
une nouvelle fois le lemme de Gronwall, on déduit pour t ∈ [t 0 − t, t 0 + t] :
u(t, h) − c(t, v) · h ≤ ´ C h t e
a(t 0 −t,t 0 +t;v) t .
Ceci montre que
lim
h→0
1
h
(f(t, v + h) − f(t, v) − c(t, v) · h) = 0 ,
c’est-à-dire que f est différentiable par rapport à v et Df(t, v) = c(t, v).
En conclusion, f est continûment dérivable par rapport à t et à v et donc de
classe C
1 .
En prime, on a montré que la différentielle de f par rapport à v, Df est de classe C
1
et solution de l’équation linéaire (5.18) avec la condition initiale Df(t 0 , v) = Id E .
Montrons maintenant le lemme utilisé dans la démonstration.
Lemme 5.14 Si A : [t 0 − t, t 0 + t] × V → L(E) est continue (par rapport à sa
première variable t), alors les solutions t → c(t, v) de l’équation linéaire
∂c
∂t
(t, v) = A(t, v) c(t, v)
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit