150
5 • Introduction et outils de base
Le premier terme se majore directement par :
c(t, v) − c(s, v) ≤ |t − s| max
s∈[s,t]
D f (s, f(s, v)) max
s∈[s,t]
c(s, v)
≤ |t − s| a(s, t; v) e
a(s,t;v) max(|s|,|t|)
par le lemme de Gronwall, avec
a(s, t; v) := max
s∈[s,t]
D f (s, f(s, v)) .
D’autre part, on peut aussi majorer le second terme grâce au lemme de
Gronwall. Après calcul (voir le lemme 5.14 ci-après), on obtient :
c(s, v) − c(s, w) ≤ b(s; v, w) |s| e
a(s;v,w) |s|
où b(s; v, w) := D f (s, f(s, v)) − D f (s, f(s, w)) ,
a(s; v, w) := max
D f (s, f(s, v)) , D f (s, f(s, w))
.
Par continuité de D f et de f, les fonctions a et a sont localement bornées,
tandis que b(s; v, w) converge vers 0 lorsque v tend vers w. Donc c(t, v) −
c(s, w) tend vers 0 lorsque (t, v) tend vers (s, w).
La seconde étape est de montrer que Df(t, v) existe et coïncide avec c(t, v).
Considérons pour cela l’accroissement :
u(t, h) := f(t, v + h) − f(t, v) .
D’après le lemme 5.12, u(t, h) ≤ C h si v et v + h sont dans V. Et par
définition de f on a
u(t 0 , h) = v + h − v = h .
Donc u(t, h) = h +
t
t 0
( f (s, f(s, v + h)) − f (s, f(s, v)) ds . D’autre part,
par définition de c :
c(t, v) · h = h +
t
t 0
D f (s, f(s, v)) c(s, v) · h ds .
D’où par soustraction et l’inégalité triangulaire, u(t, h) − c(t, v) · h ≤
t
t 0
f (s, f(s, v + h)) − f (s, f(s, v)) − D f (s, f(s, v)) · u(s, h) ds