5.5 Théorème du flot
149
La démonstration du théorème 5.13 repose sur le calcul suivant, formel pour l’instant. Supposons que l’on ait construit f deux fois différentiable. Dans tout ce qui suit,
D désigne la différentiation dans E. En différentiant
∂f
∂t
(t, v) = f (t, f(t, v))
par rapport à v et en permutant ∂ t avec D d’après le théorème de Schwarz, on obtient
pour c(t, v) := Df(t, v) (∈ L(E)) :
∂c
∂t
(t, v) = D f (t, f(t, v)) ◦ c(t, v) .
En supposant f connue, c’est une équation différentielle linéaire par rapport à c. De
plus, en différentiant f(t 0 , v) = v on obtient la condition initiale
c(t 0 , v) = Id E .
Démonstration du théorème 5.13. Pour v ∈ V := B(u 0 , R) avec
B(u 0 , 2R) ⊂ U , notons
f(·, v) : W := [t 0 − t, t 0 + t] → B(v, R)
t → f(t, v) = u(t)
la solution de l’équation différentielle fournie par le lemme 5.8 pour la
donnée initiale v. Alors f est de classe C
1 par rapport à t, et d’après le
lemme 5.12 elle est Lipschitzienne par rapport à v avec une constante de
Lipschitz uniforme sur W × V. Elle est en particulier continue comme
fonction de (t, v). Donc l’application
(t, v) → D f (t, f(t, v))
est aussi continue. Par suite, pour tout v ∈ V l’équation différentielle linéaire,
appelée équation aux variations :
dC
dt
= D f (t, f(t, v)) ◦ C ,
(5.18)
admet une solution unique sur W tout entier satisfaisant la condition initiale
C(t 0 ) = Id E . Notons c(t, v) = C(t) cette solution à l’instant t. On veut
montrer que f est continûment différentiable par rapport à v et que c(t, v) =
Df(t, v).
La première étape de la démonstration consiste à montrer que c dépend
continûment de (t, v). D’après l’inégalité triangulaire, on a
c(t, v) − c(s, w) ≤ ≤c(t, v) − c(s, v) + c(s, v) − c(s, w) .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
149
La démonstration du théorème 5.13 repose sur le calcul suivant, formel pour l’instant. Supposons que l’on ait construit f deux fois différentiable. Dans tout ce qui suit,
D désigne la différentiation dans E. En différentiant
∂f
∂t
(t, v) = f (t, f(t, v))
par rapport à v et en permutant ∂ t avec D d’après le théorème de Schwarz, on obtient
pour c(t, v) := Df(t, v) (∈ L(E)) :
∂c
∂t
(t, v) = D f (t, f(t, v)) ◦ c(t, v) .
En supposant f connue, c’est une équation différentielle linéaire par rapport à c. De
plus, en différentiant f(t 0 , v) = v on obtient la condition initiale
c(t 0 , v) = Id E .
Démonstration du théorème 5.13. Pour v ∈ V := B(u 0 , R) avec
B(u 0 , 2R) ⊂ U , notons
f(·, v) : W := [t 0 − t, t 0 + t] → B(v, R)
t → f(t, v) = u(t)
la solution de l’équation différentielle fournie par le lemme 5.8 pour la
donnée initiale v. Alors f est de classe C
1 par rapport à t, et d’après le
lemme 5.12 elle est Lipschitzienne par rapport à v avec une constante de
Lipschitz uniforme sur W × V. Elle est en particulier continue comme
fonction de (t, v). Donc l’application
(t, v) → D f (t, f(t, v))
est aussi continue. Par suite, pour tout v ∈ V l’équation différentielle linéaire,
appelée équation aux variations :
dC
dt
= D f (t, f(t, v)) ◦ C ,
(5.18)
admet une solution unique sur W tout entier satisfaisant la condition initiale
C(t 0 ) = Id E . Notons c(t, v) = C(t) cette solution à l’instant t. On veut
montrer que f est continûment différentiable par rapport à v et que c(t, v) =
Df(t, v).
La première étape de la démonstration consiste à montrer que c dépend
continûment de (t, v). D’après l’inégalité triangulaire, on a
c(t, v) − c(s, w) ≤ ≤c(t, v) − c(s, v) + c(s, v) − c(s, w) .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit