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5 • Introduction et outils de base
5.5 THÉORÈME DU FLOT
5.5.1 Dépendance par rapport aux données initiales
On a entrevu dans le lemme 5.8 ce que l’on peut attendre lorsqu’on fait varier la
condition initiale. En fait, on peut préciser ce lemme, pour comparer effectivement
deux solutions de données initiales distinctes.
Lemme 5.12 Dans le cadre du lemme 5.8, il existe C > 0 tel que si (t i , v i ) ∈
[t − t, t + t] × B(u, R) pour i = 1 ou 2, avec |t 2 − t 1 | ≤ t, les solutions u i
des problèmes de Cauchy correspondants vérifient l’estimation :
u 1 (t) − u 2 (t) ≤ C v 1 − v 2 + C |t 1 − t 2 | pour t ∈ [t 1 −t, t 1 +t]∩[t 2 −t, t 2 +t] .
Démonstration. Par hypothèse, l’intervalle [t 1 −t, t 1 +t]∩[t 2 −t, t 2 +t] est
non vide et contient l’intervalle d’extrémités t 1 et t 2 . En faisant la différence
des deux relations u i (t) = v i +
t
t i
f (t, u i (t)) dt pour i = 1, 2, on obtient
l’inégalité :
u 1 (t) − u 2 (t) ≤ ≤ v 1 − v 2 + M |t 1 − t 2 | + L
t
t 1
u 1 (s) − u 2 (s) ds ,
d’où par le lemme de Gronwall (p. 140) :
u 1 (t) − u 2 (t) ≤ e
Lt ( v 1 − v 2 + M |t 1 − t 2 | ) .
Théorème 5.13 (du flot) On suppose f de classe C
2 sur I × U , où I est un intervalle
ouvert de R et U est un ouvert de E. Pour tout (t 0 , u 0 ) ∈ I × U , il existe un voisinage
W × V = [t 0 − t, t 0 + t] × B(u 0 , R) de (t 0 , u 0 ) dans I × U et une unique application
f
t 0 ∈ C
1 (W × V; U ) telle que
⎧
⎨
⎩
∂f
t 0
∂t
(t, v) = f (t, f
t 0 (t, v)) , pour tout (t, v) ∈ W × V ,
f
t 0 (t 0 , v) = v , pour tout v ∈ V .
La fonction f
t 0 est appelée flot (local) au point t 0 de l’équation différentielle. En particulier, ce théorème affirme que pour toute donnée initiale v proche de u 0 l’application
u : t ∈ [t 0 − t, t 0 + t] → f
t 0 (t, v) est solution du problème de Cauchy
u
(t) = f (t, u) , u(t 0 ) = v ,
et qu’en plus elle dépend de manière C
1 de v. Lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté, on
écrira simplement f au lieu de f
t 0 .
5 • Introduction et outils de base
5.5 THÉORÈME DU FLOT
5.5.1 Dépendance par rapport aux données initiales
On a entrevu dans le lemme 5.8 ce que l’on peut attendre lorsqu’on fait varier la
condition initiale. En fait, on peut préciser ce lemme, pour comparer effectivement
deux solutions de données initiales distinctes.
Lemme 5.12 Dans le cadre du lemme 5.8, il existe C > 0 tel que si (t i , v i ) ∈
[t − t, t + t] × B(u, R) pour i = 1 ou 2, avec |t 2 − t 1 | ≤ t, les solutions u i
des problèmes de Cauchy correspondants vérifient l’estimation :
u 1 (t) − u 2 (t) ≤ C v 1 − v 2 + C |t 1 − t 2 | pour t ∈ [t 1 −t, t 1 +t]∩[t 2 −t, t 2 +t] .
Démonstration. Par hypothèse, l’intervalle [t 1 −t, t 1 +t]∩[t 2 −t, t 2 +t] est
non vide et contient l’intervalle d’extrémités t 1 et t 2 . En faisant la différence
des deux relations u i (t) = v i +
t
t i
f (t, u i (t)) dt pour i = 1, 2, on obtient
l’inégalité :
u 1 (t) − u 2 (t) ≤ ≤ v 1 − v 2 + M |t 1 − t 2 | + L
t
t 1
u 1 (s) − u 2 (s) ds ,
d’où par le lemme de Gronwall (p. 140) :
u 1 (t) − u 2 (t) ≤ e
Lt ( v 1 − v 2 + M |t 1 − t 2 | ) .
Théorème 5.13 (du flot) On suppose f de classe C
2 sur I × U , où I est un intervalle
ouvert de R et U est un ouvert de E. Pour tout (t 0 , u 0 ) ∈ I × U , il existe un voisinage
W × V = [t 0 − t, t 0 + t] × B(u 0 , R) de (t 0 , u 0 ) dans I × U et une unique application
f
t 0 ∈ C
1 (W × V; U ) telle que
⎧
⎨
⎩
∂f
t 0
∂t
(t, v) = f (t, f
t 0 (t, v)) , pour tout (t, v) ∈ W × V ,
f
t 0 (t 0 , v) = v , pour tout v ∈ V .
La fonction f
t 0 est appelée flot (local) au point t 0 de l’équation différentielle. En particulier, ce théorème affirme que pour toute donnée initiale v proche de u 0 l’application
u : t ∈ [t 0 − t, t 0 + t] → f
t 0 (t, v) est solution du problème de Cauchy
u
(t) = f (t, u) , u(t 0 ) = v ,
et qu’en plus elle dépend de manière C
1 de v. Lorsqu’il n’y a pas d’ambiguïté, on
écrira simplement f au lieu de f
t 0 .