5.4 Théorème de Cauchy–Lipschitz
147
Il y a cependant quelques cas remarquables dans lesquels toutes les solutions maximales sont globales.
5.4.3 Existence globale
Lorsque U = E et f est globalement Lipschitzienne, c’est-à-dire qu’il existe L > 0
tel que pour tous (t, x) et (t, y) dans I × E,
f (t, x) − f (t, y) ≤ L x − y ,
il n’y a pas de risque de sortir de son domaine de définition ni du domaine de validité
de sa constante de Lipschitz. En reprenant la démonstration du théorème 5.5 on peut
donc construire, quels que soient a, b tels que t 0 ∈ [a, b] ⊂ I , une suite de solutions
approchées (u
n ) qui soit de Cauchy dans C([a, b]; X ). On en déduit le résultat global
suivant.
Théorème 5.9 On suppose f ∈ C(I × E; E) et globalement Lipschizienne par
rapport à u. Alors, quel que soit (t 0 , u 0 ) ∈ I × E, il existe (un unique) u ∈ C
1 (I ; E)
solution de (5.15).
Attention, ce théorème est assez restrictif : il ne s’applique pas en général à des
fonctions f non-linéaires, comme le montre l’exemple de l’équation de Riccati cidessus. En revanche, il s’applique aux fonctions f affines.
Théorème 5.10 Si b ∈ C(I ; E) et A ∈ C(I ; L(E)), toutes les solutions maximales de
du
dt
= A(t) u + b(t)
sont globales.
On reviendra plus en détails sur ce type d’équations au chapitre 6.
Un autre cas d’existence globale est le suivant.
Théorème 5.11 Si E est de dimension finie et f est uniformément bornée sur I × E,
toutes les solutions maximales de u
= f (t, u) sont globales.
Démonstration. Si u
(t) = f (t, u(t)) pour tout t ∈ J alors
u(t) ≤ (b − t 0 ) M + u(t 0 )
avec b = sup J , t 0 ∈ J fixé et M une borne pour f dans I × E. Ainsi toute
solution est bornée sur tout intervalle borné : puisque les fermés bornés sont
compacts dans E, ceci implique J = I d’après le théorème 5.7.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
147
Il y a cependant quelques cas remarquables dans lesquels toutes les solutions maximales sont globales.
5.4.3 Existence globale
Lorsque U = E et f est globalement Lipschitzienne, c’est-à-dire qu’il existe L > 0
tel que pour tous (t, x) et (t, y) dans I × E,
f (t, x) − f (t, y) ≤ L x − y ,
il n’y a pas de risque de sortir de son domaine de définition ni du domaine de validité
de sa constante de Lipschitz. En reprenant la démonstration du théorème 5.5 on peut
donc construire, quels que soient a, b tels que t 0 ∈ [a, b] ⊂ I , une suite de solutions
approchées (u
n ) qui soit de Cauchy dans C([a, b]; X ). On en déduit le résultat global
suivant.
Théorème 5.9 On suppose f ∈ C(I × E; E) et globalement Lipschizienne par
rapport à u. Alors, quel que soit (t 0 , u 0 ) ∈ I × E, il existe (un unique) u ∈ C
1 (I ; E)
solution de (5.15).
Attention, ce théorème est assez restrictif : il ne s’applique pas en général à des
fonctions f non-linéaires, comme le montre l’exemple de l’équation de Riccati cidessus. En revanche, il s’applique aux fonctions f affines.
Théorème 5.10 Si b ∈ C(I ; E) et A ∈ C(I ; L(E)), toutes les solutions maximales de
du
dt
= A(t) u + b(t)
sont globales.
On reviendra plus en détails sur ce type d’équations au chapitre 6.
Un autre cas d’existence globale est le suivant.
Théorème 5.11 Si E est de dimension finie et f est uniformément bornée sur I × E,
toutes les solutions maximales de u
= f (t, u) sont globales.
Démonstration. Si u
(t) = f (t, u(t)) pour tout t ∈ J alors
u(t) ≤ (b − t 0 ) M + u(t 0 )
avec b = sup J , t 0 ∈ J fixé et M une borne pour f dans I × E. Ainsi toute
solution est bornée sur tout intervalle borné : puisque les fermés bornés sont
compacts dans E, ceci implique J = I d’après le théorème 5.7.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit