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5 • Introduction et outils de base
De même, si inf J > inf I alors u sort de tout compact lorsque t inf J .
Démonstration. Supposons b < b et raisonnons par l’absurde. S’il existait
un compact K et une suite t n tendant vers b telle que u(t n ) ∈ K pour
tout n, quitte à en extraire une sous-suite, on pourrait supposer qu’elle
converge vers u ∈ K . Soient t > 0 et R > tel que f soit bornée et
Lipschitzienne par rapport à u dans [b − 2t, b + 2t] × B(u, 2R). Alors
en vertu du lemme 5.8 ci-après, il existe t ≤ t tel que pour tout (t 0 , u 0 ) ∈
[b − t, b + t] × B(u, R) la solution maximale du problème de Cauchy (5.15)
est définie sur un intervalle contenant [t 0 − t, t 0 + t]. Or, pour n assez grand,
(t n , u(t n )) ∈ [b − t, b + t] × B(u; R), et t n + t > b. Ceci contredit le fait
que u soit une solution maximale.
Lemme 5.8 Supposons que f soit continue, bornée et Lipschitzienne par rapport à u
dans [t − 2t, t + 2t] × B(u, 2R) pour t > 0 et R > 0. Alors il existe t ∈ ] 0 , t] tel
que pour tout (t 0 , u 0 ) ∈ [t − t, t + t] × B(u, R), la solution maximale du problème de
Cauchy (5.15) soit définie sur un intervalle contenant [t 0 − t, t 0 + t].
Démonstration. En reprenant la démonstration du théorème 5.5 de CauchyLipschitz on construit une solution u : [t 0 − t, t 0 + t] → B(u 0 , R) (donc a
fortiori à valeurs dans B(u, 2R) par l’inégalité triangulaire), pour tout t ∈
]0, min
t, R/M
], où M est une borne de f sur [t − 2t, t + 2t] × B(u, 2R).
En dimension infinie, l’application du théorème 5.7 nécessite une caractérisation
des compacts pas toujours évidente (rappelons qu’un espace de dimension infinie
n’est pas localement compact). Cependant on peut parfois déduire du lemme 5.8 et
d’estimations a priori une minoration du temps d’existence des solutions, voir plus
précisément le théorème 7.5 (p. 224).
Si l’espace ambiant E est de dimension finie et si U = E, le théorème 5.7 s’exprime simplement comme suit : pour une solution maximale non globale u ∈ C
1 (J ; E),
si b := sup J < sup I alors lim tb u(t) = +∞, et si a := inf J > inf I alors
lim ta u(t) = +∞. On parle d’« explosion en temps fini » .
Remarque : Ce phénomène est indépendant de la régularité de la fonction f . Il
se produit par exemple pour l’équation de Riccati, où E = R et f (t, u) = u
2
(fonction évidemment de classe C
∞ ) : seule la solution nulle est globale. En
effet, la méthode décrite au paragraphe 5.2.4 montre qu’une solution non triviale
vérifie
−
1
u(t)
+
1
u(t 0 )
= t − t 0 et donc
lim
t→t 0 +1/u(t 0 )
|u(t)| = +∞ .
5 • Introduction et outils de base
De même, si inf J > inf I alors u sort de tout compact lorsque t inf J .
Démonstration. Supposons b < b et raisonnons par l’absurde. S’il existait
un compact K et une suite t n tendant vers b telle que u(t n ) ∈ K pour
tout n, quitte à en extraire une sous-suite, on pourrait supposer qu’elle
converge vers u ∈ K . Soient t > 0 et R > tel que f soit bornée et
Lipschitzienne par rapport à u dans [b − 2t, b + 2t] × B(u, 2R). Alors
en vertu du lemme 5.8 ci-après, il existe t ≤ t tel que pour tout (t 0 , u 0 ) ∈
[b − t, b + t] × B(u, R) la solution maximale du problème de Cauchy (5.15)
est définie sur un intervalle contenant [t 0 − t, t 0 + t]. Or, pour n assez grand,
(t n , u(t n )) ∈ [b − t, b + t] × B(u; R), et t n + t > b. Ceci contredit le fait
que u soit une solution maximale.
Lemme 5.8 Supposons que f soit continue, bornée et Lipschitzienne par rapport à u
dans [t − 2t, t + 2t] × B(u, 2R) pour t > 0 et R > 0. Alors il existe t ∈ ] 0 , t] tel
que pour tout (t 0 , u 0 ) ∈ [t − t, t + t] × B(u, R), la solution maximale du problème de
Cauchy (5.15) soit définie sur un intervalle contenant [t 0 − t, t 0 + t].
Démonstration. En reprenant la démonstration du théorème 5.5 de CauchyLipschitz on construit une solution u : [t 0 − t, t 0 + t] → B(u 0 , R) (donc a
fortiori à valeurs dans B(u, 2R) par l’inégalité triangulaire), pour tout t ∈
]0, min
t, R/M
], où M est une borne de f sur [t − 2t, t + 2t] × B(u, 2R).
En dimension infinie, l’application du théorème 5.7 nécessite une caractérisation
des compacts pas toujours évidente (rappelons qu’un espace de dimension infinie
n’est pas localement compact). Cependant on peut parfois déduire du lemme 5.8 et
d’estimations a priori une minoration du temps d’existence des solutions, voir plus
précisément le théorème 7.5 (p. 224).
Si l’espace ambiant E est de dimension finie et si U = E, le théorème 5.7 s’exprime simplement comme suit : pour une solution maximale non globale u ∈ C
1 (J ; E),
si b := sup J < sup I alors lim tb u(t) = +∞, et si a := inf J > inf I alors
lim ta u(t) = +∞. On parle d’« explosion en temps fini » .
Remarque : Ce phénomène est indépendant de la régularité de la fonction f . Il
se produit par exemple pour l’équation de Riccati, où E = R et f (t, u) = u
2
(fonction évidemment de classe C
∞ ) : seule la solution nulle est globale. En
effet, la méthode décrite au paragraphe 5.2.4 montre qu’une solution non triviale
vérifie
−
1
u(t)
+
1
u(t 0 )
= t − t 0 et donc
lim
t→t 0 +1/u(t 0 )
|u(t)| = +∞ .