5.4 Théorème de Cauchy–Lipschitz
145
pour tout t ∈ [t 0 , t 1 ]. Par conséquent, le lemme de Gronwall (dans sa version
la plus simple) implique :
u(t) − v(t) ≤ e
L t
u(t 0 ) − v(t 0 ) = 0
pour tout t ∈ [t 0 , t 1 ].
Désormais, on suppose que f : I × U → E est continue et localement Lipschitizienne en tout point (t 0 , u 0 ) ∈ I × U . Ceci nous permettra d’appliquer le théorème de
Cauchy-Lipschitz (théorème 5.5) en tout point (t 0 , u 0 ) ∈ I × U .
5.4.2 Solutions maximales
Il n’aura pas échappé au lecteur que le théorème 5.5 fournit seulement des solutions
locales, avec un résultat d’unicité local. On en déduit tout d’abord le résultat d’unicité
global suivant.
Lemme 5.6 Sous les hypothèses du théorème 5.5, si u 1 ∈ C
1 (J 1 ; U ) et u 2 ∈ C
1 (J 2 ; U )
sont deux solutions sur des intervalles J 1 et J 2 respectivement, et s’il existe t 0 ∈ J 1 ∩ J 2
tel que u 1 (t 0 ) = u 2 (t 0 ), alors u 1 (t) = u 2 (t) pour tout t ∈ J 1 ∩ J 2 .
Démonstration. C’est une application classique de la notion de connexité.
L’ensemble J 1 ∩ J 2 est un intervalle non vide par hypothèse. D’après l’unicité
locale des solutions, l’ensemble
A := { t ∈ J 1 ∩ J 2 ; u 1 (t) = u 2 (t) } .
est un ouvert. De plus, A est fermé par continuité de u 1 et u 2 . Donc A est
égal à J 1 ∩ J 2 (connexe non vide).
Une conséquence fondamentale de ce lemme est qu’il existe un plus grand intervalle
J sur lequel le problème de Cauchy (5.15) admet une solution. Cette unique solution
sur l’intervalle J est appelée solution maximale : par définition, on ne peut pas la
prolonger à I \J , et par suite J est nécessairement ouvert (sinon en appliquant le
théorème de Cauchy-Lipschitz à son extrémité on prolongerait la solution). Lorsque
J = I on dit que cette solution est globale.
La question naturelle est ensuite de savoir à quelle(s) condition(s) une solution
maximale est globale.
Théorème 5.7 (des bouts) Sous les hypothèses du théorème 5.5 de Cauchy-Lipschitz,
soit u ∈ C
1 (J ; U ) une solution maximale de u
= f (t, u). On note b la borne supérieure de I et b ≤ b la borne supérieure de J . Alors ou bien b = b ou bien « u sort
de tout compact » de U , c’est-à-dire que pour tout compact K ⊂ U , il existe h < b
tel que
u(t) ∈ U \K , pour t ≥ h avec t ∈ J .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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pour tout t ∈ [t 0 , t 1 ]. Par conséquent, le lemme de Gronwall (dans sa version
la plus simple) implique :
u(t) − v(t) ≤ e
L t
u(t 0 ) − v(t 0 ) = 0
pour tout t ∈ [t 0 , t 1 ].
Désormais, on suppose que f : I × U → E est continue et localement Lipschitizienne en tout point (t 0 , u 0 ) ∈ I × U . Ceci nous permettra d’appliquer le théorème de
Cauchy-Lipschitz (théorème 5.5) en tout point (t 0 , u 0 ) ∈ I × U .
5.4.2 Solutions maximales
Il n’aura pas échappé au lecteur que le théorème 5.5 fournit seulement des solutions
locales, avec un résultat d’unicité local. On en déduit tout d’abord le résultat d’unicité
global suivant.
Lemme 5.6 Sous les hypothèses du théorème 5.5, si u 1 ∈ C
1 (J 1 ; U ) et u 2 ∈ C
1 (J 2 ; U )
sont deux solutions sur des intervalles J 1 et J 2 respectivement, et s’il existe t 0 ∈ J 1 ∩ J 2
tel que u 1 (t 0 ) = u 2 (t 0 ), alors u 1 (t) = u 2 (t) pour tout t ∈ J 1 ∩ J 2 .
Démonstration. C’est une application classique de la notion de connexité.
L’ensemble J 1 ∩ J 2 est un intervalle non vide par hypothèse. D’après l’unicité
locale des solutions, l’ensemble
A := { t ∈ J 1 ∩ J 2 ; u 1 (t) = u 2 (t) } .
est un ouvert. De plus, A est fermé par continuité de u 1 et u 2 . Donc A est
égal à J 1 ∩ J 2 (connexe non vide).
Une conséquence fondamentale de ce lemme est qu’il existe un plus grand intervalle
J sur lequel le problème de Cauchy (5.15) admet une solution. Cette unique solution
sur l’intervalle J est appelée solution maximale : par définition, on ne peut pas la
prolonger à I \J , et par suite J est nécessairement ouvert (sinon en appliquant le
théorème de Cauchy-Lipschitz à son extrémité on prolongerait la solution). Lorsque
J = I on dit que cette solution est globale.
La question naturelle est ensuite de savoir à quelle(s) condition(s) une solution
maximale est globale.
Théorème 5.7 (des bouts) Sous les hypothèses du théorème 5.5 de Cauchy-Lipschitz,
soit u ∈ C
1 (J ; U ) une solution maximale de u
= f (t, u). On note b la borne supérieure de I et b ≤ b la borne supérieure de J . Alors ou bien b = b ou bien « u sort
de tout compact » de U , c’est-à-dire que pour tout compact K ⊂ U , il existe h < b
tel que
u(t) ∈ U \K , pour t ≥ h avec t ∈ J .
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit