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5 • Introduction et outils de base
la suite (u
n ) n∈N définie par u
0
≡ u 0 et
u
n+1 (t) = u 0 +
t
t 0
f (t, u
n (t)) dt .
(5.17)
Vérifions tout d’abord que ce schéma itératif fournit une suite (u
n ) n∈N de
fonctions continues sur [t 0 , t + ] et à valeurs dans B(u 0 , R), du moins pour t +
assez proche de t 0 . On raisonne par récurrence : la fonction constante u
0
est trivialement continue et à valeurs dans B(u 0 , R). Supposons que l’on ait
construit u
n continue sur [t 0 , t + ] et à valeurs dans B(u 0 , R). Alors la formule
de récurrence ci-dessus définit u
n+1 continue et telle que :
u
n+1 (t) − u 0 ≤
t
t 0
f (t, u
n (t)) dt ≤ (t + − t 0 ) M
pour tout t ∈ [t 0 , t + ]. Pourvu que l’on ait imposé au départ (t + − t 0 ) M ≤ R ,
la fonction u
n+1 est bien à valeurs dans B(u 0 , R). Désormais, on suppose
que t + vérifie cette contrainte.
L’étape essentielle est de montrer que la suite (u
n ) n∈N est de Cauchy et donc
convergente dans l’espace de Banach C([t 0 , t + ]; E) (muni de la norme sup).
Pour ce faire, on montre par récurrence (voir la démonstration du théorème
6.1) que
u
n+1 (t) − u
n (t) ≤
L
n (t − t 0 )
n
n!
sup
[t 0 ,t + ]
u
1
− u
0
pour tout t ∈ [t 0 , t + ] .
Par suite,
sup
[t 0 ,t + ]
u
n+ p (t) − u
n (t) ≤
n+ p−1
k=n
L
k (t + − t 0 )
k
k!
sup
[t 0 ,t + ]
u
1
− u
0
,
ce qui tend vers 0 lorsque n tend vers +∞ puisque la série
L
n (t + − t 0 )
n /n!
est convergente. Cela signifie précisément que (u
n ) est de Cauchy dans
C([t 0 , t + ]; E). Soit donc u la limite de cette suite. Par passage à la limite dans
(5.17) on voit que u est solution de (5.16).
L’unicité locale se déduit du lemme de Gronwall (p. 140). En effet, si v est
une autre solution du même problème de Cauchy, elle est à valeurs dans
B(u 0 , R) sur un intervalle [t 0 , t 1 ], 0 < t 1 ≤ t + . On a par définition
u(t) − v(t) =
t
t 0
( f (t, u(t)) − f (t, v(t)) ) dt
et donc
u(t) − v(t) ≤ L
t
t 0
u(t) − v(t) dt
5 • Introduction et outils de base
la suite (u
n ) n∈N définie par u
0
≡ u 0 et
u
n+1 (t) = u 0 +
t
t 0
f (t, u
n (t)) dt .
(5.17)
Vérifions tout d’abord que ce schéma itératif fournit une suite (u
n ) n∈N de
fonctions continues sur [t 0 , t + ] et à valeurs dans B(u 0 , R), du moins pour t +
assez proche de t 0 . On raisonne par récurrence : la fonction constante u
0
est trivialement continue et à valeurs dans B(u 0 , R). Supposons que l’on ait
construit u
n continue sur [t 0 , t + ] et à valeurs dans B(u 0 , R). Alors la formule
de récurrence ci-dessus définit u
n+1 continue et telle que :
u
n+1 (t) − u 0 ≤
t
t 0
f (t, u
n (t)) dt ≤ (t + − t 0 ) M
pour tout t ∈ [t 0 , t + ]. Pourvu que l’on ait imposé au départ (t + − t 0 ) M ≤ R ,
la fonction u
n+1 est bien à valeurs dans B(u 0 , R). Désormais, on suppose
que t + vérifie cette contrainte.
L’étape essentielle est de montrer que la suite (u
n ) n∈N est de Cauchy et donc
convergente dans l’espace de Banach C([t 0 , t + ]; E) (muni de la norme sup).
Pour ce faire, on montre par récurrence (voir la démonstration du théorème
6.1) que
u
n+1 (t) − u
n (t) ≤
L
n (t − t 0 )
n
n!
sup
[t 0 ,t + ]
u
1
− u
0
pour tout t ∈ [t 0 , t + ] .
Par suite,
sup
[t 0 ,t + ]
u
n+ p (t) − u
n (t) ≤
n+ p−1
k=n
L
k (t + − t 0 )
k
k!
sup
[t 0 ,t + ]
u
1
− u
0
,
ce qui tend vers 0 lorsque n tend vers +∞ puisque la série
L
n (t + − t 0 )
n /n!
est convergente. Cela signifie précisément que (u
n ) est de Cauchy dans
C([t 0 , t + ]; E). Soit donc u la limite de cette suite. Par passage à la limite dans
(5.17) on voit que u est solution de (5.16).
L’unicité locale se déduit du lemme de Gronwall (p. 140). En effet, si v est
une autre solution du même problème de Cauchy, elle est à valeurs dans
B(u 0 , R) sur un intervalle [t 0 , t 1 ], 0 < t 1 ≤ t + . On a par définition
u(t) − v(t) =
t
t 0
( f (t, u(t)) − f (t, v(t)) ) dt
et donc
u(t) − v(t) ≤ L
t
t 0
u(t) − v(t) dt