5.4 Théorème de Cauchy–Lipschitz
143
Remarque : On pourrait se ramener à une équation autonome en observant que
résoudre (5.15) équivaut à résoudre le problème augmenté
d
ds
u
t
=
f (t, u)
1
,
u
t
(t 0 ) =
u 0
t 0
.
Cette astuce a toutefois ses inconvénients : en particulier, si l’équation de départ
est linéaire (en u), l’équation augmentée n’est pas linéaire (en (u, t)) en général.
C’est pourquoi il est aussi important d’étudier les équations dites à coefficients
variables, où f dépend vraiment de t. Ce sera le cas ici et dans le chapitre
6. En revanche les chapitres 7 et 8 porteront exclusivement sur les équations
autonomes.
Démonstration du théorème 5.5. Pour simplifier, on va démontrer les
résultats en remplaçant l’intervalle centré [t 0 − t, t 0 + t] par [t 0 , t + ] avec
t + = t 0 + t > t 0 (le cas de l’intervalle [t 0 − t, t 0 ] s’en déduisant par le
changement de variable t → 2t 0 − t) : cela évite le recours à des valeurs
absolues.
On commence par choisir un voisinage de (t 0 , u 0 ), parfois appelé cylindre de
sécurité C(t + , R) := [t 0 , t + ] × B(u 0 , R) ⊂ I × U avec t + > t 0 et R > 0,
où B(u 0 , R) désigne la boule fermée de centre u 0 et de rayon R, dans lequel
f est bornée, disons par une constante M, et aussi Lipschitzienne :
f (t, x) − f (t, y) ≤ L x − y , pour (t, x) , (t, y) ∈ C(t + , R) .
L’intérêt du cylindre C(t + , R) sera notamment d’empêcher la solution
construite de sortir du domaine I × U de définition de f . On va en effet
montrer que, quitte à diminuer t + , le problème de Cauchy (5.15) admet une
solution u telle que (t, u(t)) ∈ C(t + , R) pour tout t ∈ [t 0 , t + ]. L’idée est de
résoudre l’équation intégrale (5.14) avec u(t 0 ) = u 0 :
u(t) = u 0 +
t
t 0
f (t, u(t)) dt .
(5.16)
En effet, si u est une solution continue de cette équation, le second membre
est de classe C
1 , donc u aussi, et en dérivant les deux membres de (5.16) on
voit qu’elle est solution du problème de Cauchy (5.15). Plus généralement,
on montre par une récurrence immédiate que si f est de classe C
r , r ≥ 0, u
est de classe C
r+1 .
Pour résoudre (5.16), on peut invoquer le théorème du point fixe de BanachPicard (théorème 1.17) ou bien, ce qui est plus instructif, construire « à la
main » une solution par la méthode de Picard, c’est-à-dire comme limite de
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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Remarque : On pourrait se ramener à une équation autonome en observant que
résoudre (5.15) équivaut à résoudre le problème augmenté
d
ds
u
t
=
f (t, u)
1
,
u
t
(t 0 ) =
u 0
t 0
.
Cette astuce a toutefois ses inconvénients : en particulier, si l’équation de départ
est linéaire (en u), l’équation augmentée n’est pas linéaire (en (u, t)) en général.
C’est pourquoi il est aussi important d’étudier les équations dites à coefficients
variables, où f dépend vraiment de t. Ce sera le cas ici et dans le chapitre
6. En revanche les chapitres 7 et 8 porteront exclusivement sur les équations
autonomes.
Démonstration du théorème 5.5. Pour simplifier, on va démontrer les
résultats en remplaçant l’intervalle centré [t 0 − t, t 0 + t] par [t 0 , t + ] avec
t + = t 0 + t > t 0 (le cas de l’intervalle [t 0 − t, t 0 ] s’en déduisant par le
changement de variable t → 2t 0 − t) : cela évite le recours à des valeurs
absolues.
On commence par choisir un voisinage de (t 0 , u 0 ), parfois appelé cylindre de
sécurité C(t + , R) := [t 0 , t + ] × B(u 0 , R) ⊂ I × U avec t + > t 0 et R > 0,
où B(u 0 , R) désigne la boule fermée de centre u 0 et de rayon R, dans lequel
f est bornée, disons par une constante M, et aussi Lipschitzienne :
f (t, x) − f (t, y) ≤ L x − y , pour (t, x) , (t, y) ∈ C(t + , R) .
L’intérêt du cylindre C(t + , R) sera notamment d’empêcher la solution
construite de sortir du domaine I × U de définition de f . On va en effet
montrer que, quitte à diminuer t + , le problème de Cauchy (5.15) admet une
solution u telle que (t, u(t)) ∈ C(t + , R) pour tout t ∈ [t 0 , t + ]. L’idée est de
résoudre l’équation intégrale (5.14) avec u(t 0 ) = u 0 :
u(t) = u 0 +
t
t 0
f (t, u(t)) dt .
(5.16)
En effet, si u est une solution continue de cette équation, le second membre
est de classe C
1 , donc u aussi, et en dérivant les deux membres de (5.16) on
voit qu’elle est solution du problème de Cauchy (5.15). Plus généralement,
on montre par une récurrence immédiate que si f est de classe C
r , r ≥ 0, u
est de classe C
r+1 .
Pour résoudre (5.16), on peut invoquer le théorème du point fixe de BanachPicard (théorème 1.17) ou bien, ce qui est plus instructif, construire « à la
main » une solution par la méthode de Picard, c’est-à-dire comme limite de
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit