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5 • Introduction et outils de base
pour un contre-exemple en dimension infinie), en faisant appel au théorème d’Ascoli :
c’est l’objet du théorème de Peano, que l’on trouvera par exemple dans les ouvrages
de référence de Coddington et Levinson [5] et de Hartman [16, p. 10]. Il est même
possible de montrer l’existence de solutions généralisées, c’est-à-dire de fonctions a
priori seulement continues satisfaisant l’équation intégrale
u(t) = u(t 0 ) +
t
t 0
f (s, u(s)) ds ,
(5.14)
pour des fonctions f discontinues. Le premier résultat dans ce sens est attribué à
Carathéodory (raison pour laquelle on parle de solutions de Carathéodory), et il a été
raffiné régulièrement depuis par de nombreux auteurs (en particulier dans la littérature
russe, avec les travaux d’A. F. Filippov [12], V. V. Filippov [13], etc.), mais cela sort
largement du cadre du présent ouvrage. L’unicité de la solution pour une donnée
initiale fixée est un autre problème, qui requiert en général une hypothèse plus forte
que la continuité de f . Des conditions assurant l’unicité sont dûes à Osgood et Nagumo
(voir à nouveau [5] ou [16]). Sans entrer dans le détail, il faut savoir que ces conditions
sont satisfaites en particulier lorsque f est Lipschitzienne par rapport à sa variable
u ∈ U , tout en étant plus faibles. L’objet n’est pas ici de considérer des hypothèses
minimales sur f , et l’on se contentera du théorème classique suivant.
Théorème 5.5 (Cauchy–Lipschitz) Soient f ∈ C(I × U ; E), où I est un intervalle
ouvert de R et U un ouvert d’un espace de Banach E, et (t 0 , u 0 ) ∈ I × U . On suppose
qu’il existe un voisinage de (t 0 , u 0 ) dans I ×U et L > 0 tel que pour tous (t, x) et (t, y)
dans ce voisinage f (t, x) − f (t, y) ≤ L x − y . Alors on a les propriétés
suivantes.
Existence Il existe t > 0 et u ∈ C
1 ([t 0 − t, t 0 + t]; U ) solution du problème de
Cauchy :
u
= f (t, u)
u(t 0 ) = u 0 .
(5.15)
Unicité Si v est une autre solution de (5.15), elle coïncide avec u sur un intervalle
d’intérieur non vide inclus dans [t 0 − t, t 0 + t].
Régularité Si de plus f est de classe C
r , r ≥ 1, alors u est de classe C
r+1 .
Remarque : Dès que f est de classe C
1 elle est effectivement localement Lipschitzienne au sens de l’énoncé. En effet, d’après le théorème des accroissements finis, f (t, x) − f (t, y) ≤ L x − y , où
L := max
u∈[0,1]
d 2 f (ux + (1 − u)y)
est fini pour x et y voisins de u 0 (une fonction continue étant localement bornée).
5 • Introduction et outils de base
pour un contre-exemple en dimension infinie), en faisant appel au théorème d’Ascoli :
c’est l’objet du théorème de Peano, que l’on trouvera par exemple dans les ouvrages
de référence de Coddington et Levinson [5] et de Hartman [16, p. 10]. Il est même
possible de montrer l’existence de solutions généralisées, c’est-à-dire de fonctions a
priori seulement continues satisfaisant l’équation intégrale
u(t) = u(t 0 ) +
t
t 0
f (s, u(s)) ds ,
(5.14)
pour des fonctions f discontinues. Le premier résultat dans ce sens est attribué à
Carathéodory (raison pour laquelle on parle de solutions de Carathéodory), et il a été
raffiné régulièrement depuis par de nombreux auteurs (en particulier dans la littérature
russe, avec les travaux d’A. F. Filippov [12], V. V. Filippov [13], etc.), mais cela sort
largement du cadre du présent ouvrage. L’unicité de la solution pour une donnée
initiale fixée est un autre problème, qui requiert en général une hypothèse plus forte
que la continuité de f . Des conditions assurant l’unicité sont dûes à Osgood et Nagumo
(voir à nouveau [5] ou [16]). Sans entrer dans le détail, il faut savoir que ces conditions
sont satisfaites en particulier lorsque f est Lipschitzienne par rapport à sa variable
u ∈ U , tout en étant plus faibles. L’objet n’est pas ici de considérer des hypothèses
minimales sur f , et l’on se contentera du théorème classique suivant.
Théorème 5.5 (Cauchy–Lipschitz) Soient f ∈ C(I × U ; E), où I est un intervalle
ouvert de R et U un ouvert d’un espace de Banach E, et (t 0 , u 0 ) ∈ I × U . On suppose
qu’il existe un voisinage de (t 0 , u 0 ) dans I ×U et L > 0 tel que pour tous (t, x) et (t, y)
dans ce voisinage f (t, x) − f (t, y) ≤ L x − y . Alors on a les propriétés
suivantes.
Existence Il existe t > 0 et u ∈ C
1 ([t 0 − t, t 0 + t]; U ) solution du problème de
Cauchy :
u
= f (t, u)
u(t 0 ) = u 0 .
(5.15)
Unicité Si v est une autre solution de (5.15), elle coïncide avec u sur un intervalle
d’intérieur non vide inclus dans [t 0 − t, t 0 + t].
Régularité Si de plus f est de classe C
r , r ≥ 1, alors u est de classe C
r+1 .
Remarque : Dès que f est de classe C
1 elle est effectivement localement Lipschitzienne au sens de l’énoncé. En effet, d’après le théorème des accroissements finis, f (t, x) − f (t, y) ≤ L x − y , où
L := max
u∈[0,1]
d 2 f (ux + (1 − u)y)
est fini pour x et y voisins de u 0 (une fonction continue étant localement bornée).