5.4 Théorème de Cauchy–Lipschitz
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5.4 THÉORÈME DE CAUCHY–LIPSCHITZ
5.4.1 Existence et unicité locales
L’essentiel de la théorie des équations différentielles est fondé sur l’existence et
l’unicité locale des solutions pour ce que l’on appelle le problème de Cauchy, c’està-dire l’équation différentielle assortie d’une « condition initiale » (expression sousentendant que t est un temps, ce qui n’est pas nécessairement le cas). Dans le cas
général d’une équation d’ordre n, une condition initiale est la donnée de la fonction
inconnue u et de toutes ses dérivées jusqu’à l’ordre n − 1 en un point t 0 . En fait
(comme on l’a mentionné à propos de la loi de Newton), on peut toujours se ramener
au cas n = 1, quitte à agrandir l’espace E et à considérer comme nouvelle fonction
inconnue (u, u
, . . . , u
(n−1) ). Plus précisément, si u ∈ C
n (J ; E) est solution de (5.1)
avec pour tout t ∈ J , u(t) ∈ U , u
(t) ∈ U 1 , . . . , u
(n−1) (t) ∈ U n−1 , alors l’application
J → U × U 1 × · · · × U n−1 ⊂ E
n
t → v(t) := (u(t), u
(t), · · · , u
(n−1) (t)) ,
est de classe C
1 et solution de
v
= g(t, v) ,
(5.13)
où
g : I × U × U 1 × · · · × U n−1
→ E
n
(t, v) ; v = (u, v 1 , · · · , v n−1 ) → g(t, v)
est définie par g(t, v) = (v 1 , v 2 , · · · , f (t, u, v 1 , . . . , v n−1 )). La fonction g est aussi
régulière que f , c’est-à-dire de classe C
r si et seulement si f est de classe C
r .
Inversement, si v ∈ C
1 (J ; E
n ) est solution de (5.13), alors par définition de g on
a v 1 = u
, v 2 = v
1 , etc., et donc u est de classe C
n avec v k = u
(k) quel que soit
k ∈ {1, . . . , n − 1}, ce qui implique au vu de la dernière composante de g que
u
(n) (t) = f (t, u(t), u
(t), . . . , u
(n−1) (t)) quel que soit t ∈ J , c’est-à-dire que u est
solution de (5.1).
On se place donc désormais, sans perte de généralité sur le plan théorique, dans le
cas n = 1 : on considère « une »
1 équation d’ordre 1
du
dt
= f (t, u) ,
où u est une fonction inconnue de la variable réelle t à valeurs dans un espace de
Banach E, et f est une fonction donnée sur I × U , ouvert connexe non vide de R × E.
Il faut bien sûr faire des hypothèses de régularité sur f . On peut montrer l’existence
de solutions en supposant f continue et E de dimension finie (voir l’exercice 5.3
1. Les guillemets sont là pour souligner qu’en général il s’agit en fait d’un système d’équations.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
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5.4 THÉORÈME DE CAUCHY–LIPSCHITZ
5.4.1 Existence et unicité locales
L’essentiel de la théorie des équations différentielles est fondé sur l’existence et
l’unicité locale des solutions pour ce que l’on appelle le problème de Cauchy, c’està-dire l’équation différentielle assortie d’une « condition initiale » (expression sousentendant que t est un temps, ce qui n’est pas nécessairement le cas). Dans le cas
général d’une équation d’ordre n, une condition initiale est la donnée de la fonction
inconnue u et de toutes ses dérivées jusqu’à l’ordre n − 1 en un point t 0 . En fait
(comme on l’a mentionné à propos de la loi de Newton), on peut toujours se ramener
au cas n = 1, quitte à agrandir l’espace E et à considérer comme nouvelle fonction
inconnue (u, u
, . . . , u
(n−1) ). Plus précisément, si u ∈ C
n (J ; E) est solution de (5.1)
avec pour tout t ∈ J , u(t) ∈ U , u
(t) ∈ U 1 , . . . , u
(n−1) (t) ∈ U n−1 , alors l’application
J → U × U 1 × · · · × U n−1 ⊂ E
n
t → v(t) := (u(t), u
(t), · · · , u
(n−1) (t)) ,
est de classe C
1 et solution de
v
= g(t, v) ,
(5.13)
où
g : I × U × U 1 × · · · × U n−1
→ E
n
(t, v) ; v = (u, v 1 , · · · , v n−1 ) → g(t, v)
est définie par g(t, v) = (v 1 , v 2 , · · · , f (t, u, v 1 , . . . , v n−1 )). La fonction g est aussi
régulière que f , c’est-à-dire de classe C
r si et seulement si f est de classe C
r .
Inversement, si v ∈ C
1 (J ; E
n ) est solution de (5.13), alors par définition de g on
a v 1 = u
, v 2 = v
1 , etc., et donc u est de classe C
n avec v k = u
(k) quel que soit
k ∈ {1, . . . , n − 1}, ce qui implique au vu de la dernière composante de g que
u
(n) (t) = f (t, u(t), u
(t), . . . , u
(n−1) (t)) quel que soit t ∈ J , c’est-à-dire que u est
solution de (5.1).
On se place donc désormais, sans perte de généralité sur le plan théorique, dans le
cas n = 1 : on considère « une »
1 équation d’ordre 1
du
dt
= f (t, u) ,
où u est une fonction inconnue de la variable réelle t à valeurs dans un espace de
Banach E, et f est une fonction donnée sur I × U , ouvert connexe non vide de R × E.
Il faut bien sûr faire des hypothèses de régularité sur f . On peut montrer l’existence
de solutions en supposant f continue et E de dimension finie (voir l’exercice 5.3
1. Les guillemets sont là pour souligner qu’en général il s’agit en fait d’un système d’équations.
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit