140
5 • Introduction et outils de base
pas l’inverse). Or les estimations a priori que l’on obtient en général sont plutôt du
type intégral, d’où l’intérêt de ce lemme, dont la preuve est néanmoins élémentaire.
Lemme 5.4 (Gronwall)
Si u ∈ C([0, T ]; R
+ ) est telle qu’il existe a ∈ C([0, T ]; R
+ ) et c ∈ C([0, T ]; R) avec
u(t) ≤ c(t) +
t
0
a(t) u(t) dt , pour tout t ∈ [0, T ] ,
(5.12)
alors u(t) ≤ c(t) +
t
0
c(t) a(t) e
t
t
a(s) ds dt pour tout t ∈ [0, T ] .
Démonstration. L’astuce consiste à démontrer l’inégalité voulue non pas
pour u directement mais pour le second membre de l’inégalité (5.12)
v(t) :=
t
0
a(t) u(t) dt .
Pour tout t ∈ [0, T ], on a v
(t) = a(t) u(t) ≤ a(t) ( c(t) + v(t) ) puisque
a ≥ 0. Ainsi v satisfait une inéquation différentielle comme au paragraphe
précédent, avec b(t) = a(t) c(t). En observant que v(0) = 0, on en déduit
que
v(t) ≤
t
0
a(t) c(t) e
t
t
a(s) ds dt , pour tout t ∈ [0, T ] .
On conclut par transitivité entre cette majoration de v(t) et l’inégalité (5.12).
Remarque : Suivant le contexte, l’inégalité de Gronwall peut se simplifier ou
s’exprimer différemment. Si c est constante par exemple, on obtient la majoration u(t) ≤ c exp
t
0
a(s) ds
. D’autre part, on peut écrire une formule
analogue avec un point t 0 quelconque à la place de 0. Mais attention, il faut
penser à mettre des valeurs absolues si les bornes des intégrales ne sont pas
dans l’ordre croissant. Enfin, si c est dérivable on peut donner une autre version
de l’inégalité de Gronwall, en intégrant par parties :
u(t) ≤ c(0) e
t
0
a(s) ds +
t
0
c
(t) e
t
t
a(s) ds dt , pour tout t ∈ [0, T ] .