5.3 Lemme de Gronwall
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alors f (u(t)) = 0 quel que soit t : cette observation nous autorise à diviser par f (u(t))
pour calculer u. Pour une solution u non triviale,
u
(t)
f (u(t))
= 1
quel que soit t, et donc, si F désigne une primitive de 1/ f dans le plus grand intervalle
contenant u(t 0 ) où f ne s’annule pas, F(u(t)) − F(u(t 0 )) = t − t 0 . Au prix du calcul
de F, ceci définit implicitement u(t) en fonction de t 0 , t et u(t 0 ) : le théorème des
fonctions implicites (théorème 1.20) s’applique en effet à la fonction (u, t) → F(u)−t
au voisinage de n’importe quel point.
5.3 LEMME DE GRONWALL
Avec la formule de Duhamel, le lemme (ou inégalité) de Gronwall est l’un des outils
fondamentaux dans la théorie des équations différentielles. Il en existe plusieurs
versions mais l’idée est toujours d’obtenir une estimation pour une fonction u à
valeurs dans R qui satisfait une inégalité implicite mais linéaire.
5.3.1 Inéquations différentielles
On appelle souvent lemme de Gronwall l’observation suivante. Supposons qu’une
fonction u ∈ C
1 (I ; R) vérifie u
(t) ≤ a(t) u(t) + b(t) avec a et b ∈ C(I ; R). Alors en
s’inspirant de la résolution de l’équation différentielle u
= a(t) u + b(t), on multiplie
l’inégalité par le nombre strictement positif exp
−
t
t 0
a(t) dt
et l’on en déduit
d
dt
e
−
t
t 0
a(t) dt u(t)
≤ e
−
t
t 0
a(t) dt b(t) ,
d’où en intégrant :
e
−
t
t 0
a(t) dt u(t) − u(t 0 ) ≤
t
t 0
e
−
s
t 0
a(t) dt b(s) ds ,
et finalement :
u(t) ≤ u(t 0 ) e
t
t 0
a(t) dt +
t
t 0
e
t
s
a(t) dt b(s) ds .
5.3.2 Inéquations intégrales
Le « vrai » lemme de Gronwall est un peu plus subtil, puisqu’il suppose une inégalité
intégrale et non une inégalité différentielle (la seconde impliquant la première mais
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