138
5 • Introduction et outils de base
En dimension finie, on peut préciser la forme des solutions de (5.11) en fonction
des valeurs propres de A (pour les détails voir le paragraphe 6.3.2). En particulier
l’équation différentielle scalaire du second ordre du paragraphe 5.2.2 peut être vue
comme un système dans R
2 :
u
v
=
0
1
−q − p
u
v
.
Les valeurs propres de la matrice 2 × 2 ci-dessus sont précisément les racines de
l’équation caractéristique z
2 + p z + q = 0 .
b) Cas avec terme source
Pour résoudre l’équation u
= Au + b(t) on peut appliquer ce que l’on appelle la
méthode de « variation de la constante » . Celle-ci consiste à remplacer, dans la solution
générale de l’équation homogène (5.11), la constante u 0 par une fonction : il s’avère
alors que u 0 se calcule par quadrature, c’est-à-dire au prix du calcul d’une primitive.
En effet, u(t) = e
t A u 0 (t) fournit une solution de l’équation avec terme source b si et
seulement si u
0 (t) = e
−t A b(t) . On en déduit la formule dite de Duhamel :
u(t) = e
(t−t 0 )A u(t 0 ) +
t
t 0
e
(t−s)A b(s) ds .
Autrement dit, la solution générale de l’équation avec terme source est la somme
de la solution générale de l’équation homogène t → e
(t−t 0 )A u(t 0 ) et de la solution
particulière de l’équation avec terme source t →
t
t 0
e
(t−s)A b(s) ds. Ce principe de
superposition est lié à la linéarité de l’équation par rapport à u. Cependant, on verra
que la formule de Duhamel est très utile même pour les équations non-linéaires, à
condition de l’appliquer à un « terme source » qui dépend de la solution u elle-même
(ce qui fournit alors une équation implicite en u).
5.2.4 Équations scalaires autonomes d’ordre 1
Le cas d’une équation scalaire u
= f (u) est très particulier : on dit qu’il est résoluble
par quadrature, au sens où, sans nécessairement être données par une formule explicite,
ses solutions « non triviales » s’expriment toutes au moyen d’une primitive. En effet,
on remarque que les solutions se séparent en deux catégories. Il y a tout d’abord les
solutions constantes, dont la valeur est un zéro de f : ce sont les solutions « triviales ».
Il y a d’autre part toutes les autres, qui s’avèrent être strictement monotones. Car, si
une solution u est telle qu’à un instant t ∗ on ait f (u(t ∗ )) = 0, alors cette solution
coïncide avec la solution constante égale à u(t ∗ ) (ceci découle du lemme d’unicité 5.6
que l’on verra plus loin). Autrement dit, si u est une solution telle que f (u(t 0 )) = 0
5 • Introduction et outils de base
En dimension finie, on peut préciser la forme des solutions de (5.11) en fonction
des valeurs propres de A (pour les détails voir le paragraphe 6.3.2). En particulier
l’équation différentielle scalaire du second ordre du paragraphe 5.2.2 peut être vue
comme un système dans R
2 :
u
v
=
0
1
−q − p
u
v
.
Les valeurs propres de la matrice 2 × 2 ci-dessus sont précisément les racines de
l’équation caractéristique z
2 + p z + q = 0 .
b) Cas avec terme source
Pour résoudre l’équation u
= Au + b(t) on peut appliquer ce que l’on appelle la
méthode de « variation de la constante » . Celle-ci consiste à remplacer, dans la solution
générale de l’équation homogène (5.11), la constante u 0 par une fonction : il s’avère
alors que u 0 se calcule par quadrature, c’est-à-dire au prix du calcul d’une primitive.
En effet, u(t) = e
t A u 0 (t) fournit une solution de l’équation avec terme source b si et
seulement si u
0 (t) = e
−t A b(t) . On en déduit la formule dite de Duhamel :
u(t) = e
(t−t 0 )A u(t 0 ) +
t
t 0
e
(t−s)A b(s) ds .
Autrement dit, la solution générale de l’équation avec terme source est la somme
de la solution générale de l’équation homogène t → e
(t−t 0 )A u(t 0 ) et de la solution
particulière de l’équation avec terme source t →
t
t 0
e
(t−s)A b(s) ds. Ce principe de
superposition est lié à la linéarité de l’équation par rapport à u. Cependant, on verra
que la formule de Duhamel est très utile même pour les équations non-linéaires, à
condition de l’appliquer à un « terme source » qui dépend de la solution u elle-même
(ce qui fournit alors une équation implicite en u).
5.2.4 Équations scalaires autonomes d’ordre 1
Le cas d’une équation scalaire u
= f (u) est très particulier : on dit qu’il est résoluble
par quadrature, au sens où, sans nécessairement être données par une formule explicite,
ses solutions « non triviales » s’expriment toutes au moyen d’une primitive. En effet,
on remarque que les solutions se séparent en deux catégories. Il y a tout d’abord les
solutions constantes, dont la valeur est un zéro de f : ce sont les solutions « triviales ».
Il y a d’autre part toutes les autres, qui s’avèrent être strictement monotones. Car, si
une solution u est telle qu’à un instant t ∗ on ait f (u(t ∗ )) = 0, alors cette solution
coïncide avec la solution constante égale à u(t ∗ ) (ceci découle du lemme d’unicité 5.6
que l’on verra plus loin). Autrement dit, si u est une solution telle que f (u(t 0 )) = 0