5.2 Résolution explicite
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5.2.3 Équations linéaires à coefficients constants
a) Cas homogène
Si A est une application linéaire continue sur E, les solutions de
du
dt
= Au
(5.11)
s’expriment à l’aide de l’exponentielle, à savoir : u(t) = e
(t−t 0 )A u 0 pour la donnée
initiale u 0 = u(t 0 ). (Dans l’écriture ci-dessus il faut voir le vecteur Au = A · u comme
l’image de u par A : on omet le · pour simplifier, de même avec l’exponentielle.)
Définition 5.2 Pour tout A ∈ L(E), l’exponentielle de A est l’application linéaire
continue définie par
exp(A) = e
A :=
+∞
n=0
1
n !
A
n ,
où A
n désigne la n-ième composée de A avec elle-même.
Lemme 5.3 Pour tout A ∈ L(E), l’application t → e
t A est continûment dérivable
(et même de classe C
∞ ), et
d
dt
e
t A = A e
t A = e
t A A .
Démonstration. La série définissant l’exponentielle étant normalement
convergente dans L(E), on peut la dériver terme à terme. Ainsi on trouve
d
dt
e
t A =
+∞
n=1
1
(n − 1) !
t
n−1 A
n = A
+∞
n=1
1
(n − 1) !
t
n−1 A
n−1 = A e
t A .
De plus A commute avec e
t A comme avec toutes ses puissances.
Remarque : On peut montrer que l’exponentielle A → e
A est différentiable
(et même de classe C
∞ ). Cependant l’expression de sa différentielle est assez
compliquée (voir [21, p. 81]), car la propriété sous-jacente au calcul ci-dessus
est la relation e
(t+s) A = e
t A e
s A , et il n’y pas d’expression analogue pour e
A+B
lorsque A et B ne commutent pas. Toutefois la différentielle de l’exponentielle
en l’application nulle se simplifie, notamment parce que cette dernière commute
avec tous les éléments de L(E). On montre que d(exp)(0) · H = H quel que
soit H ∈ L(E).
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