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5 • Introduction et outils de base
5.2.2 Équations linéaires scalaires d’ordre 2 à coefficients constants
Pour p, q ∈ R, les solutions de l’équation
u
+ p u
+ q u = 0
(5.9)
sont de trois formes possibles, suivant les propriétés de l’équation caractéristique :
z
2 + p z + q = 0 .
(5.10)
Pour toute solution il existe (l 1 , l 2 ) ∈ R
2 tel que
• ou bien u(t) = l 1 e
a 1 t + l 2 e
a 2 t si l’équation caractéristique a deux racines
réelles distinctes (a 1 et a 2 ) ;
• ou bien u(t) = l 1 e
at cos bt + l 2 e
at sin bt si l’équation caractéristique a ses
racines complexes conjuguées (a ± ib) ;
• ou bien u(t) = (l 1 + t l 2 ) e
at si l’équation caractéristique a une racine (réelle)
double (a).
Pour trouver ces expressions on commence par chercher des solutions particulières
de (5.9), à valeurs éventuellement complexes, de la forme u(t) = u 0 e
zt pour z ∈ C.
On voit que z doit être solution de l’équation caractéristique (5.10), et l’on obtient
ainsi deux solutions indépendantes de (5.9) : u 1 (t) = e
a 1 t et u 2 (t) = e
a 2 t si (5.10) a
comme racines a 1 , a 2 ∈ R, a 1 = a 2 ; u 1 (t) = e
at cos bt et u 2 (t) = e
at sin bt si (5.10)
a comme racines a ± ib ; u 1 (t) = e
at et u 2 (t) = t e
at si (5.10) admet a ∈ R comme
racine double. Puis on montre que l’espace vectoriel E des solutions de (5.9) est en
bijection avec R
2 , et plus précisément que l’application
Q : E → R
2
u → (u(0), u
(0))
est un isomorphisme : comme E est au moins de dimension 2 d’après ce qui précède,
il suffit de vérifier que l’application linéaire Q est injective. Supposons donc que u soit
une solution de (5.10) sur un intervalle J contenant 0 telle que u(0) = 0 et u
(0) = 0.
Alors la fonction w : t → u(t)
2 + u
(t)
2 est telle que, pour tout t ∈ J ,
w
(t) = 2u
(t)(u(t) − pu
(t) − qu(t)) ≤ a w(t)
avec a = 2| p| + |q|. Donc la fonction t → w(t) e
−at
≥ 0 est décroissante et nulle en
t = 0, donc nulle pour tout t ≥ 0. Pour la même raison la fonction t → w(−t) e
at
≥ 0
est nulle pour tout t ≥ 0. Ceci montre que u est identiquement nulle. Par suite, Q est
injective et la famille (u 1 , u 2 ) forme une base de solutions (définies sur J = R tout
entier).
5 • Introduction et outils de base
5.2.2 Équations linéaires scalaires d’ordre 2 à coefficients constants
Pour p, q ∈ R, les solutions de l’équation
u
+ p u
+ q u = 0
(5.9)
sont de trois formes possibles, suivant les propriétés de l’équation caractéristique :
z
2 + p z + q = 0 .
(5.10)
Pour toute solution il existe (l 1 , l 2 ) ∈ R
2 tel que
• ou bien u(t) = l 1 e
a 1 t + l 2 e
a 2 t si l’équation caractéristique a deux racines
réelles distinctes (a 1 et a 2 ) ;
• ou bien u(t) = l 1 e
at cos bt + l 2 e
at sin bt si l’équation caractéristique a ses
racines complexes conjuguées (a ± ib) ;
• ou bien u(t) = (l 1 + t l 2 ) e
at si l’équation caractéristique a une racine (réelle)
double (a).
Pour trouver ces expressions on commence par chercher des solutions particulières
de (5.9), à valeurs éventuellement complexes, de la forme u(t) = u 0 e
zt pour z ∈ C.
On voit que z doit être solution de l’équation caractéristique (5.10), et l’on obtient
ainsi deux solutions indépendantes de (5.9) : u 1 (t) = e
a 1 t et u 2 (t) = e
a 2 t si (5.10) a
comme racines a 1 , a 2 ∈ R, a 1 = a 2 ; u 1 (t) = e
at cos bt et u 2 (t) = e
at sin bt si (5.10)
a comme racines a ± ib ; u 1 (t) = e
at et u 2 (t) = t e
at si (5.10) admet a ∈ R comme
racine double. Puis on montre que l’espace vectoriel E des solutions de (5.9) est en
bijection avec R
2 , et plus précisément que l’application
Q : E → R
2
u → (u(0), u
(0))
est un isomorphisme : comme E est au moins de dimension 2 d’après ce qui précède,
il suffit de vérifier que l’application linéaire Q est injective. Supposons donc que u soit
une solution de (5.10) sur un intervalle J contenant 0 telle que u(0) = 0 et u
(0) = 0.
Alors la fonction w : t → u(t)
2 + u
(t)
2 est telle que, pour tout t ∈ J ,
w
(t) = 2u
(t)(u(t) − pu
(t) − qu(t)) ≤ a w(t)
avec a = 2| p| + |q|. Donc la fonction t → w(t) e
−at
≥ 0 est décroissante et nulle en
t = 0, donc nulle pour tout t ≥ 0. Pour la même raison la fonction t → w(−t) e
at
≥ 0
est nulle pour tout t ≥ 0. Ceci montre que u est identiquement nulle. Par suite, Q est
injective et la famille (u 1 , u 2 ) forme une base de solutions (définies sur J = R tout
entier).